Номер 2.197, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.197. Фермеру необходимо огородить сеткой прямоугольный участок земли, одна сторона которого на 10 м меньше другой, а площадь равна 600 $м^2$. В продаже имеются мотки сетки длиной 30 м, 35 м и 55 м. Выберите оптимальный вариант покупки, если 1 м сетки стоит одинаково для каждого из трех мотков.

Для выбора оптимального варианта покупки сетки необходимо сначала определить требуемую длину, то есть периметр участка, а затем найти комбинацию мотков, которая покрывает эту длину с минимальными издержками.

Пусть меньшая сторона участка равна $a$ метров, тогда большая сторона, по условию, равна $b = a + 10$ метров. Площадь участка $S$ составляет 600 м².

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$. Подставим известные значения и выражения:

$a \cdot (a + 10) = 600$

Получаем квадратное уравнение:

$a^2 + 10a - 600 = 0$

Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500$

Корни уравнения:

$a_{1} = \frac{-10 + \sqrt{2500}}{2} = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$a_{2} = \frac{-10 - \sqrt{2500}}{2} = \frac{-10 - 50}{2} = -30$

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $a = 20$ м. Тогда вторая сторона $b = 20 + 10 = 30$ м.

Ответ: стороны участка равны 20 м и 30 м.

Длина сетки, необходимая для ограждения участка, равна его периметру $P$.

$P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (20 + 30) = 2 \cdot 50 = 100$ м.

Ответ: фермеру нужно 100 м сетки.

Условие гласит, что цена за 1 метр сетки одинакова для всех мотков. Следовательно, оптимальный вариант — это тот, при котором будет куплено наименьшее количество сетки, но не менее 100 м. Это минимизирует общую стоимость.

Рассмотрим варианты покупки мотков одного вида:

• При покупке мотков по 30 м: потребуется $\lceil \frac{100}{30} \rceil = 4$ мотка. Общая длина: $4 \times 30 = 120$ м.
• При покупке мотков по 35 м: потребуется $\lceil \frac{100}{35} \rceil = 3$ мотка. Общая длина: $3 \times 35 = 105$ м.
• При покупке мотков по 55 м: потребуется $\lceil \frac{100}{55} \rceil = 2$ мотка. Общая длина: $2 \times 55 = 110$ м.

Теперь рассмотрим комбинации разных мотков, чтобы найти вариант с наименьшей итоговой длиной, равной или превышающей 100 м:

• $2 \text{ мотка по } 35 \text{ м} + 1 \text{ моток по } 30 \text{ м} = 2 \cdot 35 + 30 = 70 + 30 = 100$ м.

Эта комбинация дает ровно 100 м сетки, что является точным требуемым количеством. Любая другая комбинация, дающая 100 м или более (например, $2 \times 55 = 110$ м или $3 \times 35 = 105$ м), приведет к покупке большего количества сетки и, соответственно, к большим затратам.

Таким образом, покупка одного мотка на 30 м и двух мотков на 35 м является самой выгодной.

Ответ: оптимальный вариант — купить 1 моток сетки длиной 30 м и 2 мотка сетки длиной 35 м.