Номер 2.195, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.195. Найдите положительное число, которое на:

a) 72 меньше, чем его квадрат;

б) 14 меньше, чем его утроенный квадрат.

Для решения задачи обозначим искомое положительное число через $x$, где по условию $x > 0$.

а) 72 меньше, чем его квадрат;
Согласно условию, число $x$ на 72 меньше, чем его квадрат $x^2$. Это можно записать в виде уравнения: $$x = x^2 - 72$$ Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: $$x^2 - x - 72 = 0$$ Решим это уравнение, найдя его корни. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=-72$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$$ Поскольку $D = 289 = 17^2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ По условию задачи требуется найти положительное число, поэтому корень $x_2 = -8$ не является решением.
Искомое число равно 9.
Проверим результат: квадрат числа 9 равен $9^2 = 81$. Число 9 действительно на 72 меньше, чем 81, так как $81 - 72 = 9$.
Ответ: 9

б) 14 меньше, чем его утроенный квадрат.
Согласно условию, число $x$ на 14 меньше, чем его утроенный квадрат, то есть $3x^2$. Составим уравнение: $$x = 3x^2 - 14$$ Приведём уравнение к стандартному виду: $$3x^2 - x - 14 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3$, $b=-1$, $c=-14$.
Вычислим дискриминант $D$: $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$$ Поскольку $D = 169 = 13^2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ Так как искомое число должно быть положительным, корень $x_2 = -2$ нам не подходит.
Следовательно, искомое число равно $\frac{7}{3}$.
Проверим результат: утроенный квадрат числа $\frac{7}{3}$ равен $3 \cdot (\frac{7}{3})^2 = 3 \cdot \frac{49}{9} = \frac{49}{3}$. Число $\frac{7}{3}$ действительно на 14 меньше, чем $\frac{49}{3}$, так как $\frac{49}{3} - 14 = \frac{49}{3} - \frac{42}{3} = \frac{7}{3}$.
Представим неправильную дробь $\frac{7}{3}$ в виде смешанного числа, выделив целую часть: $$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$$ Ответ: $\mathbf{2}\frac{1}{3}$