Номер 2.188, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.188. Произведение двух последовательных четных натуральных чисел на 41 больше их среднего арифметического. Найдите эти числа.

Обозначим первое из двух последовательных четных натуральных чисел как $2n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Тогда второе последовательное четное число будет $2n + 2$.

Найдем их произведение:

$(2n)(2n + 2) = 4n^2 + 4n$

Найдем их среднее арифметическое:

$\frac{2n + (2n + 2)}{2} = \frac{4n + 2}{2} = 2n + 1$

По условию, произведение на 41 больше среднего арифметического. Составим уравнение на основе этого условия:

$4n^2 + 4n = (2n + 1) + 41$

Перенесем все члены в левую часть и упростим выражение, чтобы получить квадратное уравнение:

$4n^2 + 4n - 2n - 42 = 0$

$4n^2 + 2n - 42 = 0$

Для удобства разделим уравнение на 2:

$2n^2 + n - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=2$, $b=1$, $c=-21$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169$

Корни уравнения находятся по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 13}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2}$

Так как по условию мы ищем натуральные числа, то $2n$ должно быть положительным четным числом, а значит $n$ должно быть натуральным числом. Корень $n_2 = -3\frac{1}{2}$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит в качестве решения.

Единственный подходящий корень — $n_1 = 3$.

Теперь найдем искомые числа:

Первое число: $2n = 2 \cdot 3 = 6$.

Второе число: $2n + 2 = 6 + 2 = 8$.

Проверка: произведение $6 \cdot 8 = 48$. Среднее арифметическое $\frac{6+8}{2} = 7$. Разница $48 - 7 = 41$. Условие выполнено.

Найдите эти числа: Ответ: 6 и 8.