Номер 2.191, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.191. На предприятии зарплату повышали дважды. Первый раз на $x$ \%, а второй раз — на $2x$ \%. После двух повышений зарплата увеличилась в $1\frac{7}{8}$ раза. Найдите, на сколько процентов повысили зарплату первый раз.

Пусть S — первоначальная зарплата. После повышения на $x\%$ зарплата составит:

$S_1 = S \cdot (1 + \frac{x}{100})$

Затем эту новую зарплату повысили на $2x\%$. Итоговая зарплата $S_2$ стала равна:

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{2x}{100}) = S \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100})$

По условию задачи, итоговая зарплата $S_2$ в $1\frac{7}{8}$ раза больше первоначальной. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$

Таким образом, $S_2 = S \cdot \frac{15}{8}$.

Приравняем два полученных выражения для $S_2$:

$S \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100}) = S \cdot \frac{15}{8}$

Разделим обе части уравнения на S (так как зарплата не может быть равна нулю):

$(1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100}) = \frac{15}{8}$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$1 + \frac{2x}{100} + \frac{x}{100} + \frac{2x^2}{10000} = \frac{15}{8}$

Упростим выражение:

$1 + \frac{3x}{100} + \frac{x^2}{5000} = \frac{15}{8}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 5000 (наименьшее общее кратное знаменателей 100, 5000 и 8):

$5000 \cdot 1 + 5000 \cdot \frac{3x}{100} + 5000 \cdot \frac{x^2}{5000} = 5000 \cdot \frac{15}{8}$

$5000 + 150x + x^2 = 625 \cdot 15$

$x^2 + 150x + 5000 = 9375$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 150x - 4375 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 150^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4375) = 22500 + 17500 = 40000$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-150 + \sqrt{40000}}{2} = \frac{-150 + 200}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-150 - \sqrt{40000}}{2} = \frac{-150 - 200}{2} = \frac{-350}{2} = -175$

Поскольку $x$ представляет собой процент повышения, он должен быть положительным числом. Следовательно, корень $x_2 = -175$ не является решением задачи.

Единственное подходящее решение: $x = 25$.

На сколько процентов повысили зарплату первый раз: Ответ: 25.