Номер 2.192, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.192. Решите задачу Бхаскары (знаменитый индийский математик XII в.).

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Для решения этой знаменитой задачи индийского математика Бхаскары II обозначим общее количество обезьян в стае переменной $x$.

Проанализируем условие, изложенное в стихотворной форме:

• "Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась" — это означает, что количество обезьян, игравших на поляне, равно квадрату от восьмой части всей стаи. Математически это выражается как $(\frac{x}{8})^2$.
• "А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая" — это вторая группа, состоящая из 12 обезьян.

Общее число обезьян $x$ является суммой этих двух групп. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$x = (\frac{x}{8})^2 + 12$

Теперь приступим к решению этого уравнения.

1. Раскроем скобки:

$x = \frac{x^2}{64} + 12$

2. Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 64:

$64 \cdot x = 64 \cdot \frac{x^2}{64} + 64 \cdot 12$

$64x = x^2 + 768$

3. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 64x + 768 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-64$, $c=768$:

$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$

5. Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$x_2 = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два положительных целых числа, поэтому оба могут быть решением задачи. Выполним проверку для каждого из них.

• Проверка для $x = 48$:
  Число обезьян на поляне: $(\frac{48}{8})^2 = 6^2 = 36$.
  Число обезьян на лианах: 12.
  Общее число обезьян: $36 + 12 = 48$. Решение верно.
• Проверка для $x = 16$:
  Число обезьян на поляне: $(\frac{16}{8})^2 = 2^2 = 4$.
  Число обезьян на лианах: 12.
  Общее число обезьян: $4 + 12 = 16$. Решение также верно.

Таким образом, задача имеет два правильных ответа.

Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае? Ответ: в стае могло быть 16 или 48 обезьян.