Номер 2.185, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.185. Население города за 2 года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.

Для нахождения среднего ежегодного процента роста населения воспользуемся формулой сложных процентов:

$$ S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n $$

где:

• $S_n$ — конечная численность населения ($22\,050$ человек),
• $S_0$ — начальная численность населения ($20\,000$ человек),
• $n$ — количество лет ($2$ года),
• $r$ — средний ежегодный коэффициент роста (в долях).

Наша задача — найти значение $r$ и выразить его в процентах.

1. Подставим известные значения в формулу:

$$ 22050 = 20000 \cdot (1 + r)^2 $$

2. Чтобы выразить $(1 + r)^2$, разделим обе части уравнения на $20000$:

$$ (1 + r)^2 = \frac{22050}{20000} $$

3. Сократим полученную дробь:

$$ \frac{22050}{20000} = \frac{2205}{2000} = \frac{441}{400} $$

Уравнение принимает вид:

$$ (1 + r)^2 = \frac{441}{400} $$

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как рост населения — величина положительная, рассматриваем только арифметический (положительный) корень:

$$ 1 + r = \sqrt{\frac{441}{400}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{400}} = \frac{21}{20} $$

5. Найдем коэффициент роста $r$:

$$ r = \frac{21}{20} - 1 = \frac{21}{20} - \frac{20}{20} = \frac{1}{20} $$

6. Переведем коэффициент $r$ в проценты, умножив его на 100%:

$$ r_{\%} = \frac{1}{20} \cdot 100\% = 5\% $$

Средний ежегодный процент роста населения этого города Ответ: 5%.