Номер 2.181, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.181. Отделка фасада здания ламинированным стеклом, которое изготавливают на предприятии «Гомельстекло», позволяет обеспечить максимальную освещенность внутренних помещений и снизить расходы на освещение. Для остекления здания на предприятии были изготовлены прямоугольные листы стекла площадью $14 \text{ м}^2$. Для остекления некоторых элементов фасада здания от прямоугольного листа стекла отрезали прямоугольную полосу шириной $0,5 \text{ м}$, чтобы получить квадратный лист. Найдите сторону квадрата и процент полученных отходов.

Обозначим стороны первоначального прямоугольного листа стекла как $L$ (длина) и $W$ (ширина). Площадь листа составляет $S = L \cdot W = 14$ м².

Из условия задачи следует, что для получения квадратного листа от прямоугольного отрезали полосу шириной 0,5 м. Это означает, что одна сторона была длиннее другой на 0,5 м. Пусть $L$ будет большей стороной. Тогда, чтобы получить квадрат, сторону $L$ уменьшили на 0,5 м, и она стала равна стороне $W$.

Таким образом, мы имеем два соотношения:

1. $L \cdot W = 14$
2. $L - 0,5 = W$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти размеры листа:

$L \cdot (L - 0,5) = 14$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$L^2 - 0,5L - 14 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-0,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 0,25 + 56 = 56,25$

Найдем корни уравнения:

$L = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,5 \pm \sqrt{56,25}}{2} = \frac{0,5 \pm 7,5}{2}$

Получаем два возможных значения для $L$:

$L_1 = \frac{0,5 + 7,5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$L_2 = \frac{0,5 - 7,5}{2} = \frac{-7}{2} = -3,5$

Так как длина не может быть отрицательной, то длина прямоугольника $L = 4$ м.

Теперь найдем ширину: $W = L - 0,5 = 4 - 0,5 = 3,5$ м.

Сторона полученного квадрата равна меньшей стороне прямоугольника, то есть $W$.

Найдите сторону квадрата:
Сторона квадрата равна $3,5$ м. Представим это значение в виде смешанной дроби, выделив целую часть из неправильной дроби $\frac{7}{2}$.
Ответ: 3 $\frac{1}{2}$ м.

Найдите процент полученных отходов:
Отходами является отрезанная полоса. Площадь отходов ($S_{отх}$) можно найти как разность между начальной площадью ($S_{исх}$) и площадью полученного квадрата ($S_{квадр}$).

Площадь исходного листа: $S_{исх} = 14$ м².

Площадь полученного квадрата: $S_{квадр} = 3,5 \text{ м} \cdot 3,5 \text{ м} = 12,25$ м².

Площадь отходов: $S_{отх} = S_{исх} - S_{квадр} = 14 - 12,25 = 1,75$ м².

Теперь вычислим, какой процент отходы составляют от первоначальной площади:

$\text{Процент отходов} = \frac{S_{отх}}{S_{исх}} \cdot 100\% = \frac{1,75}{14} \cdot 100\%$

$\frac{1,75}{14} = \frac{175}{1400} = \frac{7 \cdot 25}{56 \cdot 25} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{8} \cdot 100\% = 12,5\%$

Представим $12,5\%$ в виде смешанной дроби, выделив целую часть из неправильной дроби $\frac{25}{2}$.
Ответ: 12 $\frac{1}{2}$ %.