Номер 2.183, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.183. Рекламный щит имеет форму прямоугольника со сторонами 2 м и 1,5 м. В центре рекламного щита выделен такой прямоугольник, что расстояние между сторонами двух прямоугольников везде одинаково. Площадь полученной по краям щита рамки на 0,52 $m^2$ меньше площади меньшего прямоугольника. Найдите ширину рамки и ее площадь.

Обозначим стороны рекламного щита как $L = 2$ м и $W = 1,5$ м. Площадь всего рекламного щита (большого прямоугольника) равна:$S_{щита} = L \times W = 2 \times 1,5 = 3$ м²

Пусть $x$ (в метрах) — это ширина рамки. Поскольку расстояние между сторонами двух прямоугольников везде одинаково, стороны внутреннего прямоугольника будут равны:$L_{вн} = L - 2x = 2 - 2x$ м$W_{вн} = W - 2x = 1,5 - 2x$ м

Площадь внутреннего прямоугольника ($S_{вн}$) равна:$S_{вн} = (2 - 2x)(1,5 - 2x)$Площадь рамки ($S_{рамки}$) — это разность площадей большого и малого прямоугольников:$S_{рамки} = S_{щита} - S_{вн} = 3 - S_{вн}$

По условию задачи, площадь рамки на 0,52 м² меньше площади меньшего (внутреннего) прямоугольника. Запишем это в виде уравнения:$S_{рамки} = S_{вн} - 0,52$

Теперь мы можем составить систему из двух уравнений и решить ее. Подставим выражение для $S_{рамки}$ из второго уравнения в первое:$S_{вн} - 0,52 = 3 - S_{вн}$$2S_{вн} = 3 + 0,52$$2S_{вн} = 3,52$$S_{вн} = \frac{3,52}{2} = 1,76$ м²

Теперь, зная площадь внутреннего прямоугольника, мы можем найти ширину рамки $x$, решив уравнение:$(2 - 2x)(1,5 - 2x) = 1,76$$3 - 4x - 3x + 4x^2 = 1,76$$4x^2 - 7x + 3 - 1,76 = 0$$4x^2 - 7x + 1,24 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1,24 = 49 - 19,84 = 29,16$$\sqrt{D} = \sqrt{29,16} = 5,4$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5,4}{2 \cdot 4} = \frac{12,4}{8} = 1,55$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5,4}{2 \cdot 4} = \frac{1,6}{8} = 0,2$

Ширина рамки $x$ не может быть больше половины меньшей стороны щита, то есть $2x < 1,5$, откуда $x < 0,75$ м. Корень $x_1 = 1,55$ м не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственный верный корень — $x_2 = 0,2$ м.

Теперь найдем площадь рамки, используя найденное значение $S_{вн}$:$S_{рамки} = S_{вн} - 0,52 = 1,76 - 0,52 = 1,24$ м²

Переведем полученные десятичные дроби в обыкновенные для окончательного ответа:$x = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$S_{рамки} = 1,24 = 1 \frac{24}{100} = 1 \frac{6}{25}$

Ширина рамки:Найденная ширина рамки составляет $x = 0,2$ м. Ответ: $\frac{1}{5}$ м.

Площадь рамки:Найденная площадь рамки составляет $1,24$ м². Ответ: $1\frac{6}{25}$ м².