Номер 2.186, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.186. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 239. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число равно $n$. Поскольку искомые числа являются последовательными, то второе натуральное число будет равно $n+1$.

Согласно условию задачи, произведение этих двух чисел больше их суммы на 239. Составим уравнение на основе этих данных:

• Произведение чисел: $n \cdot (n+1)$
• Сумма чисел: $n + (n+1) = 2n+1$

Уравнение будет выглядеть так:

$n(n+1) = (2n+1) + 239$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$n^2 + n = 2n + 240$

$n^2 + n - 2n - 240 = 0$

$n^2 - n - 240 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-240$.

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

Теперь найдем значения $n$ по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

По условию задачи мы ищем натуральные числа. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, ...$). Корень $n_2 = -15$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Следовательно, единственное подходящее значение для первого числа — это $n = 16$.

Второе последовательное число равно $n+1 = 16+1 = 17$.

Проверим найденное решение:

• Найденные числа: 16 и 17.
• Их произведение: $16 \times 17 = 272$.
• Их сумма: $16 + 17 = 33$.
• Разница между произведением и суммой: $272 - 33 = 239$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 16 и 17.