Номер 2.190, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.190. Владелец оптового склада покупает товар по 8 р. и продает его магазину, повысив цену на некоторое число процентов. Магазин, купив товар на оптовом складе, реализует его, повысив цену на число процентов, в 1,5 раза большее, чем оптовый склад. В результате товар в магазине стоит 12 р. 48 к. На сколько процентов увеличивает цену оптовый склад?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это процент, на который владелец оптового склада повышает цену. Тогда десятичное представление этого повышения равно $\frac{x}{100}$.

1. Цена после повышения на оптовом складе.

• Начальная цена товара: $8$ р.
• Цена после повышения на $x$ процентов: $8 \cdot (1 + \frac{x}{100})$ р.

2. Цена после повышения в магазине.

• Магазин повышает цену на число процентов, в 1,5 раза большее, чем склад. Это значит, что процент повышения в магазине составляет $1,5x$.
• Цена, по которой магазин купил товар: $8 \cdot (1 + \frac{x}{100})$ р.
• Конечная цена в магазине после повышения на $1,5x$ процентов: $ \left(8 \cdot (1 + \frac{x}{100})\right) \cdot (1 + \frac{1,5x}{100})$ р.

3. Составление и решение уравнения.

Известно, что конечная цена товара в магазине составляет 12 р. 48 к., что равно $12,48$ р. Составим уравнение:

$8 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{1,5x}{100}) = 12,48$

Разделим обе части уравнения на 8:

$(1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{1,5x}{100}) = \frac{12,48}{8}$

$(1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{1,5x}{100}) = 1,56$

Для удобства введем замену: пусть $p = \frac{x}{100}$. Тогда уравнение примет вид:

$(1 + p) \cdot (1 + 1,5p) = 1,56$

Раскроем скобки:

$1 + 1,5p + p + 1,5p^2 = 1,56$

$1,5p^2 + 2,5p + 1 = 1,56$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ap^2 + bp + c = 0$:

$1,5p^2 + 2,5p + 1 - 1,56 = 0$

$1,5p^2 + 2,5p - 0,56 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (2,5)^2 - 4 \cdot 1,5 \cdot (-0,56) = 6,25 - 6 \cdot (-0,56) = 6,25 + 3,36 = 9,61$

Найдем корни уравнения:

$p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$p_1 = \frac{-2,5 + \sqrt{9,61}}{2 \cdot 1,5} = \frac{-2,5 + 3,1}{3} = \frac{0,6}{3} = 0,2$

$p_2 = \frac{-2,5 - \sqrt{9,61}}{2 \cdot 1,5} = \frac{-2,5 - 3,1}{3} = \frac{-5,6}{3}$

Так как $x$ (и, соответственно, $p$) представляет собой процент повышения цены, он не может быть отрицательным. Поэтому нам подходит только корень $p_1 = 0,2$.

4. Нахождение искомого процента.

Вернемся к замене $p = \frac{x}{100}$:

$x = p \cdot 100 = 0,2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, оптовый склад увеличивает цену на 20%.

Проверка:

1. Цена на складе: $8 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 8 \cdot 1,2 = 9,6$ р.
2. Процент наценки магазина: $1,5 \cdot 20 = 30\%$.
3. Конечная цена в магазине: $9,6 \cdot (1 + \frac{30}{100}) = 9,6 \cdot 1,3 = 12,48$ р.

Результат совпадает с условием задачи.

На сколько процентов увеличивает цену оптовый склад? Ответ: 20.