Номер 2.196, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.196. Найдите два числа, если:

a) их сумма равна $9$, а их произведение равно $14$;

б) их разность равна $1$, а их произведение равно $56$;

в) их сумма равна $15$, а сумма их квадратов равна $113$.

а) Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. Согласно условию, имеем систему уравнений:

$\begin{cases}x + y = 9 \\x \cdot y = 14\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 9 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(9 - x) = 14$

$9x - x^2 = 14$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 9x + 14 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 14. Эти числа — 2 и 7.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.

Если $x = 2$, то $y = 9 - 2 = 7$.

Если $x = 7$, то $y = 9 - 7 = 2$.

В обоих случаях искомые числа — это 2 и 7.

Проверка: $2 + 7 = 9$, $2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 2 и 7.

б) Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. Согласно условию, имеем систему уравнений:

$\begin{cases}x - y = 1 \\x \cdot y = 56\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 1 + y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(1 + y)y = 56$

$y + y^2 = 56$

Перенесем все члены в одну сторону:

$y^2 + y - 56 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна -1, а произведение -56. Это числа 7 и -8.

Следовательно, корни уравнения: $y_1 = 7$, $y_2 = -8$.

Если $y_1 = 7$, то $x_1 = 1 + 7 = 8$. Искомые числа — 8 и 7.

Проверка: $8 - 7 = 1$, $8 \cdot 7 = 56$.

Если $y_2 = -8$, то $x_2 = 1 + (-8) = -7$. Искомые числа — -7 и -8.

Проверка: $(-7) - (-8) = 1$, $(-7) \cdot (-8) = 56$.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию.

Ответ: 8 и 7 или -7 и -8.

в) Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. Согласно условию, имеем систему уравнений:

$\begin{cases}x + y = 15 \\x^2 + y^2 = 113\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 15 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (15 - x)^2 = 113$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (15^2 - 2 \cdot 15 \cdot x + x^2) = 113$

$x^2 + 225 - 30x + x^2 = 113$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 30x + 225 - 113 = 0$

$2x^2 - 30x + 112 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 15x + 56 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 15, а произведение 56. Это числа 7 и 8.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = 8$.

Если $x = 7$, то $y = 15 - 7 = 8$.

Если $x = 8$, то $y = 15 - 8 = 7$.

В обоих случаях искомые числа — это 7 и 8.

Проверка: $7 + 8 = 15$, $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.

Ответ: 7 и 8.