Номер 2.201, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.201. В турнире по шашкам каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Всего было сыграно 120 партий. Сколько человек приняло участие в турнире?

Для решения этой задачи обозначим искомое количество участников турнира через $n$.

Согласно условию, каждый участник сыграл с каждым другим участником ровно одну партию. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Количество партий равно числу способов, которыми можно выбрать 2 участников из общего числа $n$.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем пары игроков, то есть $k=2$. Формула упрощается до:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Нам известно, что всего было сыграно 120 партий. Приравниваем количество сочетаний к 120 и получаем уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 120$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $n$.

1. Умножим обе части уравнения на 2:
   $n(n-1) = 240$
2. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
   $n^2 - n = 240$
   $n^2 - n - 240 = 0$
3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
   $a=1, b=-1, c=-240$
   $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
   Поскольку $31^2 = 961$, корень из дискриминанта равен $\sqrt{961} = 31$.
4. Найдем корни уравнения:
   $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16$
   $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Количество участников турнира не может быть отрицательным числом, поэтому корень $n = -15$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — это $n = 16$.

Проверка: Если в турнире участвуют 16 человек, то количество партий будет равно $\frac{16 \cdot (16-1)}{2} = \frac{16 \cdot 15}{2} = \frac{240}{2} = 120$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 16