Номер 2.202, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.202. Спортивный клуб арендует тренажерный зал и зал для занятий акробатикой. Тренажерный зал имеет форму прямоугольника, длина которого на 6 м больше его ширины. Длина зала для занятий акробатикой на 9 м, а ширина — на 12 м больше длины и ширины тренажерного зала соответственно, а его площадь в три раза больше площади тренажерного зала. Найдите размеры и площадь тренажерного зала.

Для решения задачи введем переменную, выразим через нее размеры и площади залов, а затем составим и решим уравнение.

1. Определение размеров и площади тренажерного зала.

Пусть ширина тренажерного зала равна $x$ метров.
По условию, длина тренажерного зала на 6 м больше его ширины, следовательно, длина равна $(x+6)$ м.
Площадь тренажерного зала ($S_1$), как площадь прямоугольника, равна произведению его длины и ширины:
$S_1 = x(x+6)$ м².

2. Определение размеров и площади зала для акробатики.

Длина зала для акробатики на 9 м больше длины тренажерного зала:
Длина = $(x+6) + 9 = (x+15)$ м.
Ширина зала для акробатики на 12 м больше ширины тренажерного зала:
Ширина = $(x+12)$ м.
Площадь зала для акробатики ($S_2$) равна:
$S_2 = (x+15)(x+12)$ м².

3. Составление и решение уравнения.

По условию задачи, площадь зала для акробатики в три раза больше площади тренажерного зала:
$S_2 = 3 \cdot S_1$
Подставим выражения для площадей в это равенство:
$(x+15)(x+12) = 3 \cdot x(x+6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 12x + 15x + 180 = 3x^2 + 18x$
$x^2 + 27x + 180 = 3x^2 + 18x$

Перенесем все члены уравнения в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$(3x^2 - x^2) + (18x - 27x) - 180 = 0$
$2x^2 - 9x - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$a=2, b=-9, c=-180$
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-180) = 81 + 1440 = 1521$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{1521} = 39$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{9 + 39}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$
$x_2 = \frac{9 - 39}{2 \cdot 2} = \frac{-30}{4} = -7.5$

Поскольку $x$ представляет собой ширину зала, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -7.5$ не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, ширина тренажерного зала равна 12 м.

4. Нахождение искомых величин.

Теперь, зная ширину, мы можем найти размеры и площадь тренажерного зала.

Размеры тренажерного зала
Ширина: $x = 12$ м.
Длина: $x+6 = 12+6 = 18$ м. Ответ: Ширина 12 м, длина 18 м.

Площадь тренажерного зала
$S_1 = \text{ширина} \cdot \text{длина} = 12 \cdot 18 = 216$ м². Ответ: 216 м².