Номер 2.203, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.203. При раскрое ткани для штор от прямоугольного полотна длиной 40 дм отрезали квадрат, сторона которого равна ширине полотна. Площадь оставшегося прямоугольника равна 375 $\text{дм}^2$. Найдите ширину полотна, если известно, что она не превышает 20 дм.

Обозначим ширину прямоугольного полотна ткани через $x$ дм.

По условию задачи, от этого полотна отрезали квадрат, сторона которого равна ширине полотна, то есть $x$ дм. Этот квадрат отрезали от длины полотна.

Изначальная длина полотна была 40 дм. После того как от него отрезали кусок длиной $x$ дм, длина оставшейся части стала равна $(40 - x)$ дм.

Ширина оставшегося прямоугольного куска ткани осталась прежней и равна $x$ дм.

Площадь оставшегося прямоугольника ($S$) равна произведению его новой длины на ширину. По условию, эта площадь составляет 375 дм².

Составим уравнение на основе этих данных:

$S = (40 - x) \cdot x = 375$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$40x - x^2 = 375$

$x^2 - 40x + 375 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 375 = 1600 - 1500 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 10}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 10}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Мы получили два возможных значения для ширины полотна: 25 дм и 15 дм.

Однако в условии задачи указано, что ширина полотна не превышает 20 дм, то есть должно выполняться неравенство $x \le 20$.

Проверим, какой из корней удовлетворяет этому условию:

• Корень $x_1 = 25$ не удовлетворяет условию, так как $25 > 20$.
• Корень $x_2 = 15$ удовлетворяет условию, так как $15 \le 20$.

Следовательно, ширина полотна равна 15 дм.

Ответ: 15.