Номер 2.199, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.199. Прямоугольный участок земли площадью 4 а огорожен изгородью длиной 100 м. Найдите размеры участка. Какие размеры имеет участок такой же площади, длина изгороди которого составляет 82 м? На каком из этих участков можно разместить строение размерами $12 \times 15$ м?

Для решения задачи сначала переведем площадь участка из аров в квадратные метры. Известно, что 1 ар (также называемый соткой) равен 100 м².

Площадь участка: $S = 4 \text{ а} = 4 \times 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$.

Размеры участка площадью 4 а, огороженного изгородью длиной 100 м

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ и периметр $P$ (длина изгороди) вычисляются по формулам:

$S = a \cdot b$

$P = 2(a + b)$

По условию для первого участка имеем систему уравнений:

$\begin{cases} a \cdot b = 400 \\ 2(a+b) = 100 \end{cases}$

Из второго уравнения находим сумму сторон:

$a+b = \frac{100}{2} = 50$

Отсюда выразим $b = 50 - a$ и подставим это выражение в первое уравнение:

$a \cdot (50 - a) = 400$

$50a - a^2 = 400$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$a^2 - 50a + 400 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D=b^2-4ac$:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 2500 - 1600 = 900 = 30^2$

Найдем корни уравнения, которые будут являться сторонами участка:

$a_1 = \frac{50 + \sqrt{900}}{2} = \frac{50 + 30}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$a_2 = \frac{50 - \sqrt{900}}{2} = \frac{50 - 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Если одна сторона равна 40 м, то вторая $b = 50 - 40 = 10$ м.

Ответ: Размеры участка 10 м × 40 м.

Какие размеры имеет участок такой же площади, длина изгороди которого составляет 82 м?

Для второго участка площадь остается той же ($S_2 = 400 \text{ м}^2$), а периметр равен $P_2 = 82 \text{ м}$.

Пусть его стороны равны $c$ и $d$. Составим аналогичную систему уравнений:

$\begin{cases} c \cdot d = 400 \\ 2(c+d) = 82 \end{cases}$

Из второго уравнения:

$c+d = \frac{82}{2} = 41$

Выразим $d = 41 - c$ и подставим в первое уравнение:

$c \cdot (41 - c) = 400$

$41c - c^2 = 400$

$c^2 - 41c + 400 = 0$

Решим это квадратное уравнение, найдя дискриминант:

$D = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81 = 9^2$

Корни уравнения:

$c_1 = \frac{41 + \sqrt{81}}{2} = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$c_2 = \frac{41 - \sqrt{81}}{2} = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Таким образом, стороны второго участка равны 16 м и 25 м.

Ответ: Размеры участка 16 м × 25 м.

На каком из этих участков можно разместить строение размерами 12 × 15 м?

Чтобы разместить строение на участке, его размеры (длина и ширина) должны быть не больше соответствующих размеров участка.

1. Первый участок (10 м × 40 м)

   Размеры строения: 12 м × 15 м.
   Меньшая сторона участка (10 м) короче обеих сторон строения ($10 \text{ м} < 12 \text{ м}$ и $10 \text{ м} < 15 \text{ м}$). Следовательно, разместить строение на этом участке невозможно.

2. Второй участок (16 м × 25 м)

   Размеры строения: 12 м × 15 м.
   Сравним размеры:

   • Сторону строения 12 м можно разместить вдоль стороны участка 16 м (так как $12 \text{ м} \le 16 \text{ м}$).
   • Сторону строения 15 м можно разместить вдоль стороны участка 25 м (так как $15 \text{ м} \le 25 \text{ м}$).
   Оба условия выполняются, значит, строение помещается на втором участке.

Ответ: Строение можно разместить на втором участке, размеры которого 16 м × 25 м.