Номер 2.207, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.207. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 434.

Для решения задачи обозначим три последовательных целых числа через переменные. Удобнее всего выбрать среднее число за $n$, тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее $n+1$.

Искомые числа: $n-1$, $n$, $n+1$.

По условию, сумма их квадратов равна 434. Составим и решим уравнение:

$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 434$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 434$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обратите внимание, что слагаемые $-2n$ и $+2n$ взаимно уничтожаются:

$(n^2 + n^2 + n^2) + (-2n + 2n) + (1 + 1) = 434$

$3n^2 + 2 = 434$

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$3n^2 = 434 - 2$

$3n^2 = 432$

Разделим обе части уравнения на 3:

$n^2 = \frac{432}{3}$

$n^2 = 144$

Найдем значения $n$, извлекая квадратный корень:

$n = \pm\sqrt{144}$

$n_1 = 12$

$n_2 = -12$

Таким образом, у задачи есть два решения.

1. Для $n = 12$:

Последовательные числа:

• $n-1 = 12 - 1 = 11$
• $n = 12$
• $n+1 = 12 + 1 = 13$

Проверим: $11^2 + 12^2 + 13^2 = 121 + 144 + 169 = 434$.

2. Для $n = -12$:

Последовательные числа:

• $n-1 = -12 - 1 = -13$
• $n = -12$
• $n+1 = -12 + 1 = -11$

Проверим: $(-13)^2 + (-12)^2 + (-11)^2 = 169 + 144 + 121 = 434$.

Ответ: Существуют две тройки таких чисел: 11, 12, 13 и -13, -12, -11.