Номер 2.208, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.208. Некоторый товар стоил 250 р. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 120 р. При этом процент снижения во второй раз был в два раза меньше, чем в первый. На сколько процентов снизилась цена товара в первый раз?

Пусть $x$ — искомый процент снижения цены в первый раз. Согласно условию, процент снижения во второй раз был в два раза меньше, то есть $\frac{x}{2}$%.

Первоначальная цена товара — 250 р. После первого снижения на $x$ процентов цена составила: $P_1 = 250 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

Затем цена $P_1$ была снижена на $\frac{x}{2}$ процентов, и итоговая цена стала 120 р. Составим уравнение, отражающее второе снижение:

$P_2 = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x/2}{100}\right) = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{200}\right) = 120$

Подставим выражение для $P_1$ в это уравнение:

$250 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{200}\right) = 120$

Приступим к решению уравнения:

$\left(1 - \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{200}\right) = \frac{120}{250} = \frac{12}{25}$

Раскроем скобки в левой части:

$1 - \frac{x}{100} - \frac{x}{200} + \frac{x^2}{20000} = \frac{12}{25}$

Приведем подобные слагаемые:

$1 - \frac{2x+x}{200} + \frac{x^2}{20000} = \frac{12}{25}$

$1 - \frac{3x}{200} + \frac{x^2}{20000} = \frac{12}{25}$

Умножим обе части уравнения на 20000, чтобы избавиться от дробей:

$20000 \cdot 1 - 20000 \cdot \frac{3x}{200} + 20000 \cdot \frac{x^2}{20000} = 20000 \cdot \frac{12}{25}$

$20000 - 100 \cdot 3x + x^2 = 800 \cdot 12$

$x^2 - 300x + 20000 = 9600$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 300x + 20000 - 9600 = 0$

$x^2 - 300x + 10400 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-300)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10400 = 90000 - 41600 = 48400$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{300 \pm \sqrt{48400}}{2} = \frac{300 \pm 220}{2}$

Вычислим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{300 + 220}{2} = \frac{520}{2} = 260$

$x_2 = \frac{300 - 220}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Корень $x_1 = 260$ является посторонним, так как процент снижения цены не может превышать 100%. Следовательно, единственно верным решением является $x_2 = 40$.

Проверка:

• Цена после первого снижения на 40%: $250 \cdot (1 - 0.40) = 250 \cdot 0.6 = 150$ р.
• Процент второго снижения: $40 / 2 = 20$%.
• Цена после второго снижения на 20%: $150 \cdot (1 - 0.20) = 150 \cdot 0.8 = 120$ р.

Итоговая цена совпадает с указанной в условии задачи.