Номер 2.189, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.189. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 144. Найдите эти числа.

Пусть искомые последовательные натуральные числа это $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Согласно условию задачи, квадрат суммы этих чисел больше суммы их квадратов на 144. Запишем это в виде математического уравнения:

$(n + (n+1))^2 - (n^2 + (n+1)^2) = 144$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение.

Сначала упростим выражение в первых скобках:

$(2n + 1)^2 - (n^2 + (n+1)^2) = 144$

Теперь раскроем квадраты:

$(4n^2 + 4n + 1) - (n^2 + n^2 + 2n + 1) = 144$

$(4n^2 + 4n + 1) - (2n^2 + 2n + 1) = 144$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 1 = 144$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4n^2 - 2n^2) + (4n - 2n) + (1 - 1) = 144$

$2n^2 + 2n = 144$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем 144 в левую часть и разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$2n^2 + 2n - 144 = 0 \quad | :2$

$n^2 + n - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $n_1 + n_2 = -1$, а их произведение $n_1 \cdot n_2 = -72$.

Подбираем числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 8 и -9:

$8 + (-9) = -1$

$8 \cdot (-9) = -72$

Таким образом, корни уравнения: $n_1 = 8$ и $n_2 = -9$.

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, то есть положительные целые числа. Корень $n_2 = -9$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит.

Единственное подходящее решение — $n = 8$.

Следовательно, первое число равно 8. Второе последовательное число равно $n+1 = 8+1 = 9$.

Проверка:

Квадрат суммы чисел: $(8+9)^2 = 17^2 = 289$.

Сумма квадратов чисел: $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$.

Разница между квадратом суммы и суммой квадратов: $289 - 145 = 144$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 8 и 9.