Номер 2.176, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.176. По окончании соревнований по интеллектуальному многоборью все команды обменялись друг с другом памятными подарками. Сколько команд приняло участие в многоборье, если количество подарков оказалось равным 182?

Пусть $n$ — количество команд, принявших участие в многоборье.

Согласно условию, каждая команда обменялась подарками с каждой другой командой. Это значит, что каждая из $n$ команд вручила по одному подарку $(n-1)$ остальным командам.

Следовательно, общее количество подарков $N$ можно найти, умножив количество команд на число подарков, которые вручила каждая команда:$N = n \cdot (n-1)$

В задаче дано, что общее количество подарков составило 182. Подставим это значение в нашу формулу и получим уравнение:$n(n-1) = 182$

Для решения раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:$n^2 - n = 182$$n^2 - n - 182 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого сначала вычислим дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$$n_1 = \frac{-(-1) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 27}{2} = \frac{28}{2} = 14$$n_2 = \frac{-(-1) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 27}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Так как количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -13$ не соответствует условию задачи. Единственным подходящим решением является $n_1 = 14$.

Таким образом, в соревновании приняло участие 14 команд.

Ответ: 14.