Номер 2.171, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.171. Хватит ли 80 м сетки, чтобы огородить в зоопарке прямоугольный вольер для животных, одна сторона которого на 5 м меньше другой, если его площадь равна $300 \text{ м}^2$?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти стороны прямоугольного вольера, используя данные о его площади и соотношении сторон.
2. Вычислить периметр вольера, чтобы определить необходимую длину сетки.
3. Сравнить необходимую длину сетки с имеющейся (80 м) и сделать вывод.

1. Нахождение сторон вольера

Пусть одна сторона прямоугольного вольера равна $x$ метров. По условию, другая сторона на 5 м меньше, следовательно, ее длина составляет $(x - 5)$ метров.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам известна площадь вольера $S = 300 \text{ м}^2$. Составим уравнение:

$x \cdot (x - 5) = 300$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x - 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, длина одной стороны вольера равна 20 м.

Тогда длина второй стороны равна: $x - 5 = 20 - 5 = 15$ м.

Таким образом, размеры вольера — 20 м и 15 м.

2. Вычисление периметра вольера

Периметр прямоугольника ($P$), который равен необходимой длине сетки, вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Подставим найденные значения сторон:

$P = 2 \cdot (20 + 15) = 2 \cdot 35 = 70$ м.

3. Вывод

Для ограждения вольера требуется 70 м сетки. В наличии имеется 80 м сетки. Так как $70 \text{ м} < 80 \text{ м}$, имеющейся сетки хватит.

Ответ: Да, хватит.