Номер 2.169, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.169. Найдите положительное число, которое на:

а) 56 меньше, чем его квадрат;

б) 15 меньше, чем его удвоенный квадрат.

Обозначим искомое положительное число через $x$.

а) Согласно условию, число $x$ на 56 меньше, чем его квадрат $x^2$. Это можно выразить уравнением:

$x = x^2 - 56$

Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x - 56 = 0$

Для решения найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-56$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

В задаче требуется найти положительное число, следовательно, решением является $x = 8$.

Ответ: 8.

б) Согласно условию, число $x$ на 15 меньше, чем его удвоенный квадрат $2x^2$. Составим уравнение:

$x = 2x^2 - 15$

Приведём уравнение к стандартному виду:

$2x^2 - x - 15 = 0$

Найдём дискриминант, где $a=2$, $b=-1$, $c=-15$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$

Вычислим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$

Так как искомое число должно быть положительным, решением является $x=3$.

Ответ: 3.