Номер 2.174, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.174. Площадь дачного участка прямоугольной формы равна $800 \text{ м}^2$, а его периметр — $120 \text{ м}$. Вдоль одной из меньших сторон участка высажены кусты смородины на расстоянии $1 \text{ м}$ друг от друга (рис. 39). На какой урожай можно рассчитывать владельцам участка, если урожайность одного куста смородины составляет в среднем $5 \text{ кг}$?

Рис. 39

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий: найти размеры участка, определить количество кустов и рассчитать итоговый урожай.

Пусть $a$ и $b$ — это длины сторон прямоугольного участка. Исходя из условия, площадь ($S$) и периметр ($P$) участка равны:
$S = a \cdot b = 800 \text{ м}^2$
$P = 2(a + b) = 120 \text{ м}$
Из формулы периметра мы можем найти сумму длин сторон:
$a + b = \frac{120}{2} = 60 \text{ м}$
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} a + b = 60 \\ a \cdot b = 800 \end{cases} $
Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 60 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$a \cdot (60 - a) = 800$
$60a - a^2 = 800$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$a^2 - 60a + 800 = 0$
Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим его корни: $a_1 = 20$ и $a_2 = 40$. Это и есть длины сторон участка. В задаче сказано, что кусты высажены вдоль одной из меньших сторон.
Ответ: стороны участка равны 20 м и 40 м, меньшая сторона — 20 м.

Кусты высажены вдоль стороны длиной 20 м на расстоянии 1 м друг от друга. Как показано на рисунке, кусты находятся и в начале, и в конце ряда. Чтобы рассчитать их количество, нужно длину стороны разделить на расстояние между кустами и прибавить 1 (для учёта первого куста).
Количество кустов = $\frac{20 \text{ м}}{1 \text{ м}} + 1 = 20 + 1 = 21$
Ответ: всего на участке высажен 21 куст смородины.

Средняя урожайность одного куста смородины составляет 5 кг. Чтобы найти общий урожай, необходимо умножить количество кустов на урожайность одного куста.
Общий урожай = $21 \text{ куст} \cdot 5 \frac{\text{кг}}{\text{куст}} = 105 \text{ кг}$
Ответ: владельцы участка могут рассчитывать на урожай в 105 кг.