Номер 2.170, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.170. Найдите два числа, если:

а) их сумма равна 21, а их произведение равно 98;

б) их разность равна 4, а их произведение равно 96;

в) их разность равна 3, а сумма их квадратов равна 65.

а) их сумма равна 21, а их произведение равно 98;

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$. По условию задачи составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 21 \\ x \cdot y = 98 \end{cases} $

Такая система может быть решена с помощью теоремы Виета. Искомые числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные значения суммы и произведения:

$t^2 - 21t + 98 = 0$

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 98 = 441 - 392 = 49$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{49}}{2} = \frac{21 + 7}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - \sqrt{49}}{2} = \frac{21 - 7}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Следовательно, искомые числа - это 14 и 7.

Проверка: $14 + 7 = 21$, $14 \cdot 7 = 98$. Условия выполняются.

Ответ: 14 и 7.

б) их разность равна 4, а их произведение равно 96;

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x \cdot y = 96 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 4$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y + 4) \cdot y = 96$

$y^2 + 4y - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 8$, то $x_1 = 8 + 4 = 12$.

Если $y_2 = -12$, то $x_2 = -12 + 4 = -8$.

Таким образом, существует две пары чисел: (12, 8) и (-8, -12).

Проверка 1: $12 - 8 = 4$, $12 \cdot 8 = 96$.

Проверка 2: $(-8) - (-12) = 4$, $(-8) \cdot (-12) = 96$.

Ответ: 12 и 8, или -8 и -12.

в) их разность равна 3, а сумма их квадратов равна 65.

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 + y^2 = 65 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y + 3)^2 + y^2 = 65$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 65$

$2y^2 + 6y - 56 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

$y^2 + 3y - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 4 + 3 = 7$.

Если $y_2 = -7$, то $x_2 = -7 + 3 = -4$.

Таким образом, существует две пары чисел: (7, 4) и (-4, -7).

Проверка 1: $7 - 4 = 3$, $7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65$.

Проверка 2: $(-4) - (-7) = 3$, $(-4)^2 + (-7)^2 = 16 + 49 = 65$.

Ответ: 7 и 4, или -4 и -7.