устные вопросы и задания в § 11, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

При решении квадратного уравнения, составленного по условию задачи, получили два корня. Верно ли, что:

а) в задаче будет два ответа;

б) один из корней не подойдет по условию задачи;

в) задача может не иметь решений?

a) в задаче будет два ответа; Нет, это утверждение не всегда верно. Хотя квадратное уравнение, составленное по условию задачи, имеет два корня, это не гарантирует, что у самой задачи будет два решения. Возможны различные ситуации.

• Оба корня подходят и дают два разных ответа.
  Пример: Найдите число, которое на 56 меньше своего квадрата.
  Пусть искомое число — $x$. Составим уравнение: $x = x^2 - 56$, что равносильно $x^2 - x - 56 = 0$.
  Корни этого уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$. Оба числа удовлетворяют условию задачи: $8^2 - 56 = 64 - 56 = 8$ и $(-7)^2 - 56 = 49 - 56 = -7$. Таким образом, у задачи два ответа.
• Оба корня описывают одно и то же решение.
  Пример: Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 30 см, а площадь — 56 см².
  Пусть одна сторона — $x$ см. Тогда вторая сторона — $(15 - x)$ см (так как полупериметр равен $30/2=15$ см). Составим уравнение: $x(15-x) = 56$, или $x^2 - 15x + 56 = 0$.
  Корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = 8$. Если одна сторона равна 7 см, то другая — $15 - 7 = 8$ см. Если же одна сторона равна 8 см, то другая — $15 - 8 = 7$ см. В обоих случаях мы получаем один и тот же прямоугольник со сторонами 7 см и 8 см. То есть, у задачи только одно решение.

Поскольку не всегда получается два ответа, данное утверждение не является верным в общем случае. Ответ: Нет.

б) один из корней не подойдет по условию задачи; Нет, это утверждение также не всегда верно. Хотя часто один из корней отбрасывается (например, если он отрицательный, а в задаче речь идет о длине, скорости или времени), бывают случаи, когда оба корня являются полноценными решениями.

• Случай, когда один корень не подходит (является посторонним).
  Пример: Длина прямоугольника на 3 см больше ширины, а его площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника.
  Пусть ширина — $x$ см. Тогда длина — $(x+3)$ см. Уравнение: $x(x+3) = 40$, или $x^2 + 3x - 40 = 0$.
  Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -8$. Так как ширина не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -8$ не подходит по условию задачи. Решением является только $x=5$. Ширина равна 5 см, длина — 8 см.
• Случай, когда подходят оба корня.
  Этот случай был подробно рассмотрен в пункте а). В задаче "Найдите число, которое на 56 меньше своего квадрата", уравнение $x^2 - x - 56 = 0$ имеет два корня, $8$ и $-7$, и оба являются ответами к задаче.

Следовательно, утверждение, что один из корней обязательно не подойдет, является неверным. Ответ: Нет.

в) задача может не иметь решений? Да, это возможно. Такая ситуация возникает, когда оба корня полученного квадратного уравнения не удовлетворяют условиям, наложенным на искомую величину в задаче (например, по физическому или геометрическому смыслу).

Пример: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Один из катетов на 7 см больше другого. Найдите длины катетов.

Пусть длина меньшего катета равна $x$ см. Тогда длина большего катета равна $(x+7)$ см. По определению, длина стороны треугольника должна быть положительным числом, то есть $x > 0$.

По теореме Пифагора составим уравнение:
$x^2 + (x+7)^2 = 5^2$
$x^2 + x^2 + 14x + 49 = 25$
$2x^2 + 14x + 24 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$x^2 + 7x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Оба корня, $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$, являются отрицательными числами. Однако, $x$ обозначает длину катета, которая не может быть отрицательной. Следовательно, ни один из корней не является решением задачи. Это означает, что не существует прямоугольного треугольника с заданными в условии свойствами. Ответ: Да.