Номер 2.178, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.178. Вокруг клумбы имеется дорожка шириной 1 м (рис. 40). Найдите радиус клумбы, если площадь дорожки на 25 % больше площади клумбы.

Рис. 40

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $r$ — искомый радиус клумбы в метрах.
• Площадь клумбы ($S_{клумбы}$) вычисляется как площадь круга: $S_{клумбы} = \pi r^2$.

Вокруг клумбы расположена дорожка шириной 1 м. Следовательно, радиус большого круга, который включает в себя и клумбу, и дорожку, равен $R = r + 1$.

Площадь этого большого круга ($S_{большого\_круга}$) составляет:

$S_{большого\_круга} = \pi R^2 = \pi (r + 1)^2$

Площадь самой дорожки ($S_{дорожки}$) можно найти как разность площадей большого круга и клумбы:

$S_{дорожки} = S_{большого\_круга} - S_{клумбы} = \pi (r + 1)^2 - \pi r^2$

Упростим это выражение, раскрыв скобки:

$S_{дорожки} = \pi (r^2 + 2r + 1) - \pi r^2 = \pi r^2 + 2\pi r + \pi - \pi r^2 = \pi(2r + 1)$

Согласно условию задачи, площадь дорожки на 25% больше площади клумбы. Математически это можно выразить так:

$S_{дорожки} = S_{клумбы} + 0.25 \cdot S_{клумбы} = 1.25 \cdot S_{клумбы}$

Теперь подставим полученные формулы для площадей в это равенство:

$\pi(2r + 1) = 1.25 \cdot (\pi r^2)$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ (поскольку $\pi \neq 0$):

$2r + 1 = 1.25 r^2$

Мы получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$1.25 r^2 - 2r - 1 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 4 (так как $1.25 = \frac{5}{4}$):

$5r^2 - 8r - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$r = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 \pm 12}{10}$

У нас есть два возможных значения для радиуса:

$r_1 = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$r_2 = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Поскольку радиус клумбы не может быть отрицательным числом, мы выбираем единственный подходящий корень $r = 2$.

Проверка:

• Радиус клумбы $r = 2$ м.
• Площадь клумбы $S_{клумбы} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ м².
• Радиус с дорожкой $R = 2 + 1 = 3$ м.
• Площадь дорожки $S_{дорожки} = \pi \cdot 3^2 - 4\pi = 9\pi - 4\pi = 5\pi$ м².
• Отношение площадей: $\frac{S_{дорожки}}{S_{клумбы}} = \frac{5\pi}{4\pi} = 1.25$. Это означает, что площадь дорожки на 25% больше площади клумбы, что соответствует условию.

Ответ: радиус клумбы равен 2 м.