Номер 2.220, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.220. Решите уравнение:

а) $(x - 5)^4 - 3(x - 5)^2 - 4 = 0;$

б) $(3x + 2)^4 - 10(3x + 2)^2 + 9 = 0;$

в) $(8x - 1)^4 + 5(8x - 1)^2 + 4 = 0;$

г) $(x - 7)^4 + 2(x - 7)^2 - 8 = 0.$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x-5)$. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $y = (x-5)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$: $$y^2 - 3y - 4 = 0$$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$ Получаем два корня: $$y_1 = \frac{3+5}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{3-5}{2} = -1$$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$. $y_1 = 4$ удовлетворяет условию. $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y_1 = 4$: $$(x-5)^2 = 4$$ Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два линейных уравнения: $$x-5 = 2 \quad \text{или} \quad x-5 = -2$$ Решая их, находим $x$: $$x_1 = 2 + 5 = 7$$ $$x_2 = -2 + 5 = 3$$

Ответ: $3; 7$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = (3x+2)^2$. Очевидно, что $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное: $$y^2 - 10y + 9 = 0$$

Корни этого уравнения легко найти по теореме Виета: $$y_1 + y_2 = 10$$ $$y_1 \cdot y_2 = 9$$ Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.
1) При $y=1$: $$(3x+2)^2 = 1$$ $$3x+2 = 1 \quad \text{или} \quad 3x+2 = -1$$ $$3x = -1 \implies x_1 = -\frac{1}{3}$$ $$3x = -3 \implies x_2 = -1$$
2) При $y=9$: $$(3x+2)^2 = 9$$ $$3x+2 = 3 \quad \text{или} \quad 3x+2 = -3$$ $$3x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{3}$$ $$3x = -5 \implies x_4 = -\frac{5}{3}$$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\textbf{1}\frac{2}{3}; -1; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

Введем замену $y = (8x-1)^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид: $$y^2 + 5y + 4 = 0$$

Найдем корни по теореме Виета: $$y_1 + y_2 = -5$$ $$y_1 \cdot y_2 = 4$$ Отсюда $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.

Оба полученных значения для $y$ являются отрицательными, что противоречит условию $y \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Альтернативное рассуждение: для любого действительного $x$ выражения $(8x-1)^4$ и $(8x-1)^2$ неотрицательны. Поэтому левая часть уравнения всегда положительна: $$(8x-1)^4 + 5(8x-1)^2 + 4 \ge 0 + 5 \cdot 0 + 4 = 4$$ Так как левая часть уравнения не может быть меньше 4, она никогда не будет равна нулю.

Ответ: корней нет.

Это биквадратное уравнение. Пусть $y = (x-7)^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $$y^2 + 2y - 8 = 0$$

Решим его через дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ $$y_1 = \frac{-2+6}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-2-6}{2} = -4$$

Корень $y_2 = -4$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Рассмотрим $y_1 = 2$.

Выполним обратную замену: $$(x-7)^2 = 2$$ $$x-7 = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x-7 = -\sqrt{2}$$ $$x_1 = 7 + \sqrt{2}$$ $$x_2 = 7 - \sqrt{2}$$

Ответ: $7 - \sqrt{2}; 7 + \sqrt{2}$.