Номер 2.226, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.226. Выполните замену переменной и решите уравнение:

а) $x^2 - 3|x| + 2 = 0;$

б) $6x^2 - 5|x| - 1 = 0;$

в) $(x-3)^2 + 7|x-3| - 8 = 0;$

г) $(3x+1)^2 - 2|3x+1| - 15 = 0.$

а) Данное уравнение $x^2 - 3|x| + 2 = 0$.

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как значение модуля всегда неотрицательно, то $t \ge 0$.

После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Мы можем решить это уравнение, используя теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $|x| = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

2. Если $t = 2$, то $|x| = 2$, откуда $x = 2$ или $x = -2$.

Ответ: -2; -1; 1; 2.

б) Данное уравнение $6x^2 - 5|x| - 1 = 0$.

Используя свойство $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение:

$6|x|^2 - 5|x| - 1 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$6t^2 - 5t - 1 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 7}{12}$

$t_1 = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

$t_2 = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Корень $t_1 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_2 = 1$.

Выполним обратную замену: $|x| = 1$.

Отсюда получаем два решения: $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: -1; 1.

в) Данное уравнение $(x - 3)^2 + 7|x - 3| - 8 = 0$.

Так как квадрат выражения равен квадрату его модуля, $(a)^2 = |a|^2$, то $(x - 3)^2 = |x - 3|^2$.

$|x - 3|^2 + 7|x - 3| - 8 = 0$

Выполним замену переменной. Пусть $t = |x - 3|$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 7t - 8 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -7$ и $t_1 \cdot t_2 = -8$. Корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -8$.

Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он не подходит.

Остается корень $t_1 = 1$.

Произведем обратную замену: $|x - 3| = 1$.

Это уравнение эквивалентно двум:

1. $x - 3 = 1 \implies x = 4$.

2. $x - 3 = -1 \implies x = 2$.

Ответ: 2; 4.

г) Данное уравнение $(3x + 1)^2 - 2|3x + 1| - 15 = 0$.

Используем свойство $(3x+1)^2 = |3x+1|^2$ и перепишем уравнение:

$|3x + 1|^2 - 2|3x + 1| - 15 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = |3x + 1|$, при условии $t \ge 0$.

Получим уравнение:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -15$. Корни:

$t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$ и является посторонним.

Рассмотрим корень $t_1 = 5$.

Выполним обратную замену: $|3x + 1| = 5$.

Данное уравнение распадается на два:

1. $3x + 1 = 5 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$.

2. $3x + 1 = -5 \implies 3x = -6 \implies x = -2$.

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: -2; $1\frac{1}{3}$.