Номер 2.232, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.232. Выполните замену переменной и решите уравнение:

a) $(x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 = 0;$

б) $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0.$

а) $(x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 = 0$

Данное уравнение решается методом замены переменной. Заметим, что выражение $(x^2 - 5x)$ повторяется.

Введем замену: пусть $t = x^2 - 5x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + 10t + 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$t_2 = \frac{-10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -6$

$x^2 - 5x = -6$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Корни:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Случай 2: $t = -4$

$x^2 - 5x = -4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Корни:

$x_3 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$x_4 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Таким образом, мы получили четыре корня для исходного уравнения.

Ответ: $1, 2, 3, 4$.

б) $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0$

Для решения этого уравнения также применим метод замены переменной.

Пусть $y = x^2 - 6x$. Подставив эту замену в уравнение, получим:

$y^2 + y - 56 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{225} = 15$.

$y_1 = \frac{-1 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

$y_2 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = -8$

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

Корни:

$x_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4$

Случай 2: $y = 7$

$x^2 - 6x = 7$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_2 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Корни:

$x_3 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_4 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Таким образом, мы получили четыре корня для исходного уравнения.

Ответ: $-1, 2, 4, 7$.