Номер 2.229, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда легко находятся корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Оба найденных значения для $t$ положительны, следовательно, они оба удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$:

1) Если $t = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x_{1,2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.

2) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня. Ответ: $\pm 1; \pm 2$.

Сделаем замену переменной $t = x^2$ ($t \ge 0$). Уравнение примет вид:

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 \pm 8}{18}$

Получаем два корня для $t$:

$t_1 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1$

Оба корня положительны и подходят. Выполним обратную замену:

1) $x^2 = \frac{1}{9} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3}$.

2) $x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1; \pm \frac{1}{3}$.

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $7t^2 - 6t - 1 = 0$.

Решим его через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm 8}{14}$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{7}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним.

Рассматриваем только $t_1 = 1$. Выполняем обратную замену:

$x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1$.

Выполним замену $t = x^2$, при условии $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное: $3t^2 - 13t + 4 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$

Найдем корни для $t$:

$t = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 11}{6}$

$t_1 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$t_2 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

2) $x^2 = \frac{1}{3} \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.