Номер 2.235, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.235. Выполните замену переменной и решите уравнение:

a) $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55;$

б) $(x^2 - 4x)^2 - (x - 2)^2 = 16.$

a) Дано уравнение: $(x^2 + 2x)^2 - (x+1)^2 = 55$.

Для решения этого уравнения методом замены переменной, сначала преобразуем второй член. Раскроем квадрат суммы:

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(x^2 + 2x)^2 - (x^2 + 2x + 1) = 55$

Теперь можно увидеть общий член $x^2 + 2x$. Выполним замену переменной. Пусть $t = x^2 + 2x$.

Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - (t + 1) = 55$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - t - 1 - 55 = 0$

$t^2 - t - 56 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Для $t_1 = 8$:

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

2. Для $t_2 = -7$:

$x^2 + 2x = -7$

$x^2 + 2x + 7 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D_x = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$. Так как $D_x < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-4; 2$.

б) Дано уравнение: $(x^2 - 4x)^2 - (x-2)^2 = 16$.

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем второй член. Раскроем квадрат разности:

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(x^2 - 4x)^2 - (x^2 - 4x + 4) = 16$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 4x$.

Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - (t + 4) = 16$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t^2 - t - 4 - 16 = 0$

$t^2 - t - 20 = 0$

Найдем корни. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-(-1) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь выполним обратную замену.

1. Для $t_1 = 5$:

$x^2 - 4x = 5$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

2. Для $t_2 = -4$:

$x^2 - 4x = -4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x-2)^2 = 0$

Отсюда $x-2 = 0$, следовательно, $x_3 = 2$.

Ответ: $-1; 2; 5$.