Номер 2.240, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.240. Найдите значения переменной, при которых имеет

смысл выражение:

а) $x^2 + 4x + 5;$

б) $(2x - 4) : (x^2 - 9);$

в) $(2x - 4) : (x^2 + 6);$

г) $(3x + 8) : (x^2 - x).$

Чтобы найти значения переменной, при которых выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Основное ограничение, которое встречается в данных задачах, — это деление на ноль. Делить на ноль нельзя, поэтому знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

а) Выражение $x^2 + 4x + 5$ является многочленом. В нем отсутствуют операции деления на переменную или извлечения корня из переменной. Поэтому данное выражение имеет смысл при любых действительных значениях переменной $x$.
Ответ: все действительные числа.

б) Выражение $(2x - 4) : (x^2 - 9)$ представляет собой частное, которое можно записать в виде дроби $\frac{2x - 4}{x^2 - 9}$. Выражение имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 9 = 0$
Используем формулу разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
Таким образом, переменная $x$ не может принимать значения 3 и -3.
Ответ: все действительные числа, кроме $x = 3$ и $x = -3$.

в) Выражение $(2x - 4) : (x^2 + 6)$ можно записать в виде дроби $\frac{2x - 4}{x^2 + 6}$. Выражение имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель быть равен нулю:
$x^2 + 6 = 0$
$x^2 = -6$
Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$), уравнение $x^2 = -6$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $x^2 + 6$ никогда не равен нулю. Его наименьшее значение равно 6 (при $x=0$).
Ответ: все действительные числа.

г) Выражение $(3x + 8) : (x^2 - x)$ можно записать в виде дроби $\frac{3x + 8}{x^2 - x}$. Выражение имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
Таким образом, переменная $x$ не может принимать значения 0 и 1.
Ответ: все действительные числа, кроме $x = 0$ и $x = 1$.