Номер 2.239, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.239. Найдите наименьшее значение выражения:

а) $(x - 4)^2 + 3$;

б) $(3x - 1)^2 - 8$;

в) $2(x - 6)^2 + 1$;

г) $9(x + 5)^2 - 6$.

Чтобы найти наименьшее значение каждого выражения, воспользуемся свойством квадрата любого числа: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $A^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять квадрат, это 0, и это происходит тогда, когда выражение под знаком квадрата равно нулю.

а) Рассмотрим выражение $(x-4)^2 + 3$.
Квадрат выражения $(x-4)^2$ всегда больше или равен нулю: $(x-4)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение $(x-4)^2$ равно 0. Это значение достигается при $x-4=0$, то есть при $x=4$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет, когда $(x-4)^2$ минимально: $0 + 3 = 3$.
Ответ: 3

б) Рассмотрим выражение $(3x-1)^2 - 8$.
Квадрат выражения $(3x-1)^2$ всегда неотрицателен: $(3x-1)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение $(3x-1)^2$ равно 0. Это значение достигается при $3x-1=0$, то есть при $x=\frac{1}{3}$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет: $0 - 8 = -8$.
Ответ: -8

в) Рассмотрим выражение $2(x-6)^2 + 1$.
Выражение $(x-6)^2 \ge 0$. Так как мы умножаем неотрицательное число на положительное число 2, результат также будет неотрицательным: $2(x-6)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение $2(x-6)^2$ равно 0. Это значение достигается при $x-6=0$, то есть при $x=6$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет: $2 \cdot 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

г) Рассмотрим выражение $9(x+5)^2 - 6$.
Выражение $(x+5)^2 \ge 0$. Умножая его на 9, получаем $9(x+5)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение $9(x+5)^2$ равно 0. Это значение достигается при $x+5=0$, то есть при $x=-5$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения будет: $9 \cdot 0 - 6 = -6$.
Ответ: -6