Номер 2.236, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.236. Выполните замену переменной и решите уравнение:

a) $x^2 - 10|x| + 9 = 0;$

б) $2x^2 + 3|x| - 2 = 0.$

а) Рассмотрим уравнение $x^2 - 10|x| + 9 = 0$.

Так как для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать исходное уравнение в следующем виде:

$|x|^2 - 10|x| + 9 = 0$.

Теперь выполним замену переменной. Пусть $t = |x|$. Поскольку значение модуля не может быть отрицательным, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t \ge 0$.

После подстановки получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Оба корня являются положительными, поэтому они удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных корней $t$:

1. Если $t=1$, то $|x| = 1$. Это уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = -1$.

2. Если $t=9$, то $|x| = 9$. Это уравнение имеет два решения: $x = 9$ и $x = -9$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-9; -1; 1; 9$.

б) Рассмотрим уравнение $2x^2 + 3|x| - 2 = 0$.

Используя свойство $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение:

$2|x|^2 + 3|x| - 2 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$:

• $t_1 = \frac{1}{2}$ — удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{2} \ge 0$.
• $t_2 = -2$ — не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, у нас есть единственное подходящее значение $t = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$|x| = \frac{1}{2}$.

Отсюда получаем два решения для $x$:

$x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.