Номер 2.230, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.230. Решите уравнение двумя способами:

a) $(x + 1)^2 - 2(x + 1) + 1 = 0;$

б) $(x^2 - 4)^2 - 2(x^2 - 4) - 15 = 0.$

а) Решим уравнение $(x+1)^2-2(x+1)+1=0$ двумя способами.

Способ 1: Использование формулы квадрата разности

Левая часть уравнения имеет вид $a^2 - 2ab + b^2$, где $a = (x+1)$ и $b=1$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2$.

Свернем выражение по этой формуле:

$((x+1) - 1)^2 = 0$

$(x+1-1)^2 = 0$

$x^2 = 0$

Следовательно, $x=0$.

Способ 2: Введение новой переменной (метод замены)

Пусть $t = x+1$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это также является полным квадратом:

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда $t-1=0$, то есть $t=1$.

Теперь выполним обратную замену, подставив значение $t$:

$x+1 = 1$

$x = 1-1$

$x = 0$

Ответ: 0.

б) Решим уравнение $(x^2-4)^2-2(x^2-4)-15=0$ двумя способами.

Способ 1: Введение новой переменной (метод замены)

Заметим, что в уравнении повторяется выражение $(x^2-4)$. Введем замену: пусть $t = x^2-4$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$t_1 = \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{2-8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$.

1) Если $t=5$, то $x^2-4 = 5$.

$x^2 = 9$

$x_{1,2} = \pm 3$

2) Если $t=-3$, то $x^2-4 = -3$.

$x^2 = 1$

$x_{3,4} = \pm 1$

Способ 2: Раскрытие скобок и решение биквадратного уравнения

Раскроем скобки в исходном уравнении, используя формулу квадрата разности и распределительный закон:

$(x^4 - 8x^2 + 16) - 2x^2 + 8 - 15 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ (где $y \ge 0$):

$y^2 - 10y + 9 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1=1$ и $y_2=9$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y=1$, то $x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1$

2) Если $y=9$, то $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$

Ответ: -3; -1; 1; 3.