Номер 2.227, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.227. Решите уравнение:

а) $ (3x^2 + 7)(x^2 - 3) - (x^2 - 5)(x^2 + 5) = x^4 + 3x^2; $

б) $ (2x^2 - 9)(x^2 + 2) - (x^2 - 3)(x^2 + 3) = 5x^2 - 18. $

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Уравнение примет вид:

$(3t + 7)(t - 3) - (t - 5)(t + 5) = t^2 + 3t$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого произведения имеем:

$(3t + 7)(t - 3) = 3t \cdot t + 3t \cdot (-3) + 7 \cdot t + 7 \cdot (-3) = 3t^2 - 9t + 7t - 21 = 3t^2 - 2t - 21$

Второе произведение является формулой разности квадратов:

$(t - 5)(t + 5) = t^2 - 5^2 = t^2 - 25$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(3t^2 - 2t - 21) - (t^2 - 25) = t^2 + 3t$

Упростим левую часть, раскрыв скобки:

$3t^2 - 2t - 21 - t^2 + 25 = t^2 + 3t$

$2t^2 - 2t + 4 = t^2 + 3t$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2t^2 - t^2 - 2t - 3t + 4 = 0$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 5$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 4$

Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

1) При $t = 1$:

$x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$

2) При $t = 4$:

$x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Это уравнение также можно свести к квадратному с помощью замены. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$(2t - 9)(t + 2) - (t - 3)(t + 3) = 5t - 18$

Раскроем скобки в левой части. Первое произведение:

$(2t - 9)(t + 2) = 2t^2 + 4t - 9t - 18 = 2t^2 - 5t - 18$

Второе произведение - это разность квадратов:

$(t - 3)(t + 3) = t^2 - 3^2 = t^2 - 9$

Подставим в уравнение:

$(2t^2 - 5t - 18) - (t^2 - 9) = 5t - 18$

Упростим, раскрыв скобки:

$2t^2 - 5t - 18 - t^2 + 9 = 5t - 18$

$t^2 - 5t - 9 = 5t - 18$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 - 5t - 5t - 9 + 18 = 0$

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 10$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 9$

Отсюда корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительные и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = 1$:

$x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1$

2) При $t = 9$:

$x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$

Уравнение имеет четыре корня.