Номер 2.228, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.228. Решите уравнение:

a) $x^4 - 4x^2 (x - 6) - 5(x - 6)^2 = 0;$

б) $(x + 2)^4 - 3x^2 (x + 2)^2 - 4x^4 = 0.$

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений $x^2$ и $(x-6)$.

Сделаем замену. Пусть $a = x^2$ и $b = x-6$. Уравнение примет вид:

$a^2 - 4ab - 5b^2 = 0$

Это выражение можно разложить на множители, рассмотрев его как квадратное уравнение относительно $a$. Корни соответствующего уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$ равны $t_1=5$ и $t_2=-1$.
Следовательно, $a^2 - 4ab - 5b^2 = (a-5b)(a+b)$.

Получаем уравнение:

$(a-5b)(a+b) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Разобьем решение на два случая:

Случай 1: $a-5b=0 \implies a=5b$

Выполним обратную замену:

$x^2 = 5(x-6)$

$x^2 = 5x - 30$

$x^2 - 5x + 30 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 25 - 120 = -95$

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $a+b=0 \implies a=-b$

Выполним обратную замену:

$x^2 = -(x-6)$

$x^2 = -x + 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Ответ: -3; 2.

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений $(x+2)^2$ и $x^2$.

Сделаем замену. Пусть $A = (x+2)^2$ и $B = x^2$. Уравнение примет вид:

$A^2 - 3AB - 4B^2 = 0$

Разложим левую часть на множители. Корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$ равны $t_1=4$ и $t_2=-1$.
Следовательно, $A^2 - 3AB - 4B^2 = (A-4B)(A+B)$.

Получаем уравнение:

$(A-4B)(A+B) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Разобьем решение на два случая:

Случай 1: $A-4B=0 \implies A=4B$

Выполним обратную замену:

$(x+2)^2 = 4x^2$

$(x+2)^2 - (2x)^2 = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x+2 - 2x)(x+2 + 2x) = 0$

$(-x+2)(3x+2) = 0$

Отсюда:
$-x+2 = 0 \implies x = 2$
или
$3x+2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$

Случай 2: $A+B=0 \implies A=-B$

Выполним обратную замену:

$(x+2)^2 = -x^2$

Выражение в левой части $(x+2)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Выражение в правой части $-x^2 \le 0$ для любого действительного $x$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны 0 одновременно.
$(x+2)^2=0 \implies x = -2$
$-x^2=0 \implies x = 0$
Так как $x$ не может быть одновременно равен -2 и 0, то в этом случае действительных корней нет.

Ответ: 2; $-\frac{2}{3}$.