Номер 2.231, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.231. Решите уравнение:

a) $(x + 3)^4 - 8(x + 3)^2 - 9 = 0;$

б) $(2x - 3)^4 - 5(2x - 3)^2 + 4 = 0.$

а) $(x + 3)^4 - 8(x + 3)^2 - 9 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x+3)$. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $y = (x + 3)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$y^2 - 8y - 9 = 0$

Решим это уравнение относительно переменной $y$. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $y \ge 0$.

• Корень $y_1 = 9$ удовлетворяет условию, так как $9 \ge 0$.
• Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену, используя единственный подходящий корень $y = 9$:

$(x + 3)^2 = 9$

Это уравнение равносильно двум линейным уравнениям:

$x + 3 = 3$ или $x + 3 = -3$

Решая каждое из них, находим корни исходного уравнения:

1) $x + 3 = 3 \implies x_1 = 3 - 3 = 0$

2) $x + 3 = -3 \implies x_2 = -3 - 3 = -6$

Ответ: $-6; 0$.

б) $(2x - 3)^4 - 5(2x - 3)^2 + 4 = 0$

Это также биквадратное уравнение относительно выражения $(2x-3)$. Введем замену переменной.

Пусть $z = (2x - 3)^2$. Условие для новой переменной: $z \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$z^2 - 5z + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корнями являются числа:

$z_1 = 1$ и $z_2 = 4$

Оба корня удовлетворяют условию $z \ge 0$, так как $1 > 0$ и $4 > 0$. Следовательно, оба являются действительными решениями для $z$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

Случай 1: $z = 4$

$(2x - 3)^2 = 4$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$2x - 3 = 2$ или $2x - 3 = -2$

Находим корни для $x$:

1) $2x - 3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

2) $2x - 3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}$

Случай 2: $z = 1$

$(2x - 3)^2 = 1$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$2x - 3 = 1$ или $2x - 3 = -1$

Находим корни для $x$:

3) $2x - 3 = 1 \implies 2x = 4 \implies x_3 = 2$

4) $2x - 3 = -1 \implies 2x = 2 \implies x_4 = 1$

Объединяем все найденные корни и записываем их в порядке возрастания.

Ответ: $\frac{1}{2}; 1; 2; 2\frac{1}{2}$.