Номер 2.234, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.234. Решите уравнение:

a) $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24;$

б) $(x - 3)(x - 1)(x - 5)(x - 7) = -16.$

а) $x(x+1)(x+2)(x+3) = 24$

Данное уравнение является уравнением четвертой степени. Для его решения сгруппируем множители таким образом, чтобы получить одинаковое выражение при раскрытии скобок. Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим:

$(x(x+3)) \cdot ((x+1)(x+2)) = 24$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = 24$

Теперь введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда уравнение примет вид:

$y(y+2) = 24$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 2y - 24 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 \cdot y_2 = -24$ и $y_1 + y_2 = -2$. Корнями являются $y_1 = 4$ и $y_2 = -6$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = 4$, то:

$x^2 + 3x = 4$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 \cdot x_2 = -4$ и $x_1 + x_2 = -3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

2. Если $y = -6$, то:

$x^2 + 3x = -6$

$x^2 + 3x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только $x=1$ и $x=-4$.

Ответ: 1; -4.

б) $(x-3)(x-1)(x-5)(x-7) = -16$

Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Заметим, что $(-1) + (-7) = -8$ и $(-3) + (-5) = -8$.

$((x-1)(x-7)) \cdot ((x-3)(x-5)) = -16$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) = -16$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 8x$. Уравнение примет вид:

$(t+7)(t+15) = -16$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 15t + 7t + 105 = -16$

$t^2 + 22t + 121 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(t+11)^2 = 0$

Отсюда $t+11 = 0$, следовательно, $t = -11$.

Выполним обратную замену:

$x^2 - 8x = -11$

$x^2 - 8x + 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 64 - 44 = 20$.

Найдем корни:

$x = \frac{8 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 4 \pm \sqrt{5}$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x_1 = 4 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 4 - \sqrt{5}$.

Ответ: 4 $\pm \sqrt{5}$.