gdz.by
Номер 2.224, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко
Авторы: Арефьева И. Г., Пирютко О. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Адукацыя i выхаванне
Год издания: 2024 - 2025
Цвет обложки: бирюзовый с графиком
ISBN: ISBN 978-985-03-4081-8
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 2. Квадратные уравнения. Параграф 12. Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 2.224, страница 145.
№2.223
№2.224 (с. 145)
Условие. №2.224 (с. 145)
скриншот условия
2.224. Решите уравнение:
a) $(x - 2)(x + 1)(x + 2)(x + 5) + 20 = 0;$
б) $x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100.$
Решение. №2.224 (с. 145)
Решение 2. №2.224 (с. 145)
a) Исходное уравнение: $(x-2)(x+1)(x+2)(x+5) + 20 = 0$.
Для решения этого уравнения сгруппируем множители таким образом, чтобы суммы свободных членов в парах скобок были равны. Проверим суммы: $(-2) + 5 = 3$ и $1 + 2 = 3$. Это подходящая группировка.
Переставим множители и сгруппируем их:
$$ ((x-2)(x+5))((x+1)(x+2)) + 20 = 0 $$Раскроем скобки внутри каждой группы:
$(x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$
$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$$ (x^2 + 3x - 10)(x^2 + 3x + 2) + 20 = 0 $$Теперь введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 3x$. Уравнение примет вид:
$$ (y - 10)(y + 2) + 20 = 0 $$Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$$ y^2 + 2y - 10y - 20 + 20 = 0 $$ $$ y^2 - 8y = 0 $$ $$ y(y - 8) = 0 $$Отсюда находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = 0$
$y_2 = 8$
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$, чтобы найти $x$.
Случай 1: $y = 0$
$$ x^2 + 3x = 0 $$ $$ x(x + 3) = 0 $$Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
Случай 2: $y = 8$
$$ x^2 + 3x = 8 $$ $$ x^2 + 3x - 8 = 0 $$Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41 $$Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$$ x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2} $$Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $0; -3; \frac{-3 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{41}}{2}.$
б) Исходное уравнение: $x(x+3)(x+5)(x+8) = 100$.
Как и в предыдущем задании, сгруппируем множители. Свободные члены равны 0, 3, 5, 8. Проверим суммы: $0 + 8 = 8$ и $3 + 5 = 8$. Группируем соответствующие множители.
Перепишем уравнение:
$$ (x(x+8))((x+3)(x+5)) = 100 $$Раскроем скобки в каждой группе:
$x(x+8) = x^2 + 8x$
$(x+3)(x+5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$
Подставим в уравнение:
$$ (x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) = 100 $$Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 8x$.
$$ y(y + 15) = 100 $$Решим полученное уравнение относительно $y$:
$$ y^2 + 15y - 100 = 0 $$Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -100, а сумма -15. Подходят числа -20 и 5.
$y_1 = -20$
$y_2 = 5$
Выполним обратную замену.
Случай 1: $y = -20$
$$ x^2 + 8x = -20 $$ $$ x^2 + 8x + 20 = 0 $$Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Случай 2: $y = 5$
$$ x^2 + 8x = 5 $$ $$ x^2 + 8x - 5 = 0 $$Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 64 + 20 = 84$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$$ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{84}}{2} $$Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$.
$$ x_{1,2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -4 \pm \sqrt{21} $$Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $-4 - \sqrt{21}; -4 + \sqrt{21}.$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @gdz_by_belarus
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 2.224 расположенного на странице 145 к учебнику 2024 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.224 (с. 145), авторов: Арефьева (Ирина Глебовна), Пирютко (Ольга Николаевна), учебного пособия издательства Адукацыя i выхаванне.