Номер 3, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Решите уравнение:

а) $x^2 - 4 = 0;$

б) $x^2 - 2 = 0;$

в) $10x^2 + 5x = 0;$

г) $3x^2 + 1 = 0;$

д) $x^2 - 10x + 25 = 0;$

е) $x^2 + x - 6 = 0;$

ж) $5x^2 + 8x - 4 = 0.$

а) Решим неполное квадратное уравнение $x^2 - 4 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2, x_2 = -2$

Ответ: $\pm 2$.

б) Решим неполное квадратное уравнение $x^2 - 2 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $\pm\sqrt{2}$.

в) Решим неполное квадратное уравнение $10x^2 + 5x = 0$.

Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:

$5x(2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$5x = 0$ или $2x + 1 = 0$

$x_1 = 0$

$2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $0; -\frac{1}{2}$.

г) Решим неполное квадратное уравнение $3x^2 + 1 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$3x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{3}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

д) Решим уравнение $x^2 - 10x + 25 = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x-5)^2 = 0$

Извлекая корень, получаем:

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Ответ: $5$.

е) Решим приведенное квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$ с помощью теоремы Виета.

Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Методом подбора находим корни:

$x_1 = 2, x_2 = -3$

Проверка: $2 + (-3) = -1$ и $2 \cdot (-3) = -6$.

Ответ: $2; -3$.

ж) Решим полное квадратное уравнение $5x^2 + 8x - 4 = 0$ через дискриминант.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты: $a=5, b=8, c=-4$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Формула для нахождения корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$x_2 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Ответ: $\frac{2}{5}; -2$.