Номер 10, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Разложите многочлен на множители $6x^2 + xy - 12y^2$.

Для разложения многочлена $6x^2 + xy - 12y^2$ на множители воспользуемся методом группировки. Цель этого метода — представить средний член $xy$ в виде суммы двух слагаемых так, чтобы потом можно было вынести общий множитель за скобки.

1. Найдем произведение коэффициентов при $x^2$ и $y^2$:
$a \cdot c = 6 \cdot (-12) = -72$.

2. Теперь нам нужно найти два числа, произведение которых равно $-72$, а их сумма равна коэффициенту при $xy$, то есть $1$.
Подберем такие числа. Это $9$ и $-8$, так как:
$9 \cdot (-8) = -72$
$9 + (-8) = 1$

3. Представим средний член $xy$ в виде разности $9xy - 8xy$ и перепишем исходное выражение:
$6x^2 + 9xy - 8xy - 12y^2$

4. Сгруппируем слагаемые попарно. Первые два и последние два:
$(6x^2 + 9xy) + (-8xy - 12y^2)$

5. Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы:
Из первой группы $(6x^2 + 9xy)$ выносим $3x$: $3x(2x + 3y)$.
Из второй группы $(-8xy - 12y^2)$ выносим $-4y$: $-4y(2x + 3y)$.

6. В результате получаем выражение:
$3x(2x + 3y) - 4y(2x + 3y)$

7. Видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — скобка $(2x + 3y)$. Вынесем ее за скобки:
$(3x - 4y)(2x + 3y)$

Таким образом, разложение многочлена на множители завершено. Для проверки можно раскрыть скобки и убедиться, что получится исходный многочлен:
$(3x - 4y)(2x + 3y) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3y - 4y \cdot 2x - 4y \cdot 3y = 6x^2 + 9xy - 8xy - 12y^2 = 6x^2 + xy - 12y^2$.

Ответ: $(3x - 4y)(2x + 3y)$.