Номер 6, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Спортивный клуб арендует два зала. Один из них имеет форму квадрата, а другой — прямоугольника, длина которого на 5 м, а ширина на 3 м больше стороны квадрата. Известно, что площадь одного зала в 1,6 раза меньше площади другого. Найдите, сколько метров потолочного плинтуса необходимо приобрести для ремонта двух залов, зная, что к расчетному количеству нужно добавить 10 % плинтуса, идущего в отходы.

Для решения задачи обозначим сторону квадратного зала через $x$ метров. Тогда его площадь $S_{кв} = x^2$.

Согласно условию, второй зал имеет форму прямоугольника. Его длина на 5 м больше стороны квадрата, то есть равна $x + 5$ м, а ширина на 3 м больше стороны квадрата, то есть равна $x + 3$ м. Площадь прямоугольного зала вычисляется как произведение длины на ширину: $S_{пр} = (x + 5)(x + 3) = x^2 + 3x + 5x + 15 = x^2 + 8x + 15$.

Так как $x$ (длина стороны) является положительной величиной, очевидно, что площадь прямоугольного зала $S_{пр}$ больше площади квадратного зала $S_{кв}$. В условии сказано, что площадь одного зала в 1,6 раза меньше площади другого, что означает, что большая площадь (прямоугольного зала) в 1,6 раза больше меньшей (квадратного зала). На основании этого составим уравнение:

$S_{пр} = 1.6 \cdot S_{кв}$

$x^2 + 8x + 15 = 1.6x^2$

Для решения уравнения перенесем все его члены в одну сторону:

$1.6x^2 - x^2 - 8x - 15 = 0$

$0.6x^2 - 8x - 15 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 10:

$6x^2 - 80x - 150 = 0$

Для упрощения разделим уравнение на 2:

$3x^2 - 40x - 75 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{2500} = 50$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm 50}{2 \cdot 3} = \frac{40 \pm 50}{6}$

$x_1 = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$x_2 = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2$ не является решением задачи. Таким образом, сторона квадратного зала равна 15 м.

Теперь мы можем найти периметры обоих залов, чтобы определить расчетное количество потолочного плинтуса.

• Периметр квадратного зала: $P_{кв} = 4 \cdot x = 4 \cdot 15 = 60$ м.
• Размеры прямоугольного зала: длина $15 + 5 = 20$ м, ширина $15 + 3 = 18$ м.
• Периметр прямоугольного зала: $P_{пр} = 2 \cdot (20 + 18) = 2 \cdot 38 = 76$ м.

Общая расчетная длина плинтуса для двух залов:

$P_{общ} = P_{кв} + P_{пр} = 60 + 76 = 136$ м.

К этому количеству необходимо добавить 10% на отходы. Итоговое количество плинтуса для покупки составляет:

$136 \text{ м} + 10\% \cdot 136 \text{ м} = 136 \cdot (1 + 0.1) = 136 \cdot 1.1 = 149.6$ м.

Представим ответ в виде смешанного числа: $149.6 = 149\frac{6}{10} = 149\frac{3}{5}$.

Ответ: необходимо приобрести 149 $\frac{3}{5}$ метров потолочного плинтуса.