Номер 4, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) $x^2 + 9x + 20;$

б) $-x^2 + 4x - 3;$

в) $2x^2 - 3x - 2;$

г) $25x^2 + 10x + 1.$

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

a) Для трехчлена $x^2 + 9x + 20$ найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 20 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=9, c=20$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Подставляем корни в формулу разложения:

$x^2 + 9x + 20 = 1 \cdot (x - (-4))(x - (-5)) = (x+4)(x+5)$

Ответ: $(x+4)(x+5)$.

б) Для трехчлена $-x^2 + 4x - 3$ найдем корни уравнения $-x^2 + 4x - 3 = 0$.

Для удобства умножим уравнение на -1: $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Коэффициенты для нового уравнения: $a=1, b=-4, c=3$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Подставляем корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a=-1$:

$-x^2 + 4x - 3 = -1 \cdot (x - 3)(x - 1) = -(x-3)(x-1)$

Ответ: $-(x-1)(x-3)$.

в) Для трехчлена $2x^2 - 3x - 2$ найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=2, b=-3, c=-2$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Подставляем корни в формулу разложения:

$2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x - 2)(x + \frac{1}{2})$

Чтобы избавиться от дроби, умножим коэффициент 2 на второй множитель:

$(x - 2) \cdot 2(x + \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x + 1)$

Ответ: $(x-2)(2x+1)$.

г) Трехчлен $25x^2 + 10x + 1$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.

Здесь $A = \sqrt{25x^2} = 5x$ и $B = \sqrt{1} = 1$.

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 5x \cdot 1 = 10x$. Совпадает.

Следовательно, разложение имеет вид:

$25x^2 + 10x + 1 = (5x+1)^2$

Альтернативный способ (через дискриминант):

Решаем уравнение $25x^2 + 10x + 1 = 0$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$. Так как $D=0$, уравнение имеет один корень (кратности 2):

$x = \frac{-10}{2 \cdot 25} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$

Разложение: $a(x-x_1)^2 = 25(x - (-\frac{1}{5}))^2 = 25(x+\frac{1}{5})^2 = (5(x+\frac{1}{5}))^2 = (5x+1)^2$.

Ответ: $(5x+1)^2$.