Номер 1, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. В летнем спортивном лагере площадка для оздоровительных занятий имеет форму многоугольника, вдоль каждой стороны которого размещен спортивный тренажер. Число всех дорожек — диагоналей площадки — равно 54. Найдите, сколько тренажеров расположено на площадке.

Пусть $n$ — это количество сторон (и, соответственно, вершин) многоугольника, который образует площадку. Согласно условию, вдоль каждой стороны расположен один тренажер, поэтому количество тренажеров равно $n$.

Число диагоналей $d$ в выпуклом многоугольнике с $n$ сторонами вычисляется по известной формуле:

Из условия задачи нам известно, что общее число диагоналей равно 54. Подставим это значение в формулу:

Для решения этого уравнения сначала умножим обе его части на 2:

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2+bn+c=0$:

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

Поскольку дискриминант положительный ($D>0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

Вычисляем оба корня:

Так как $n$ представляет собой количество сторон многоугольника, это значение должно быть целым положительным числом (конкретнее, $n \ge 3$). Поэтому корень $n_2 = -9$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи.

Единственным подходящим решением является $n = 12$. Это означает, что площадка имеет форму двенадцатиугольника. Поскольку на каждой стороне находится по одному тренажеру, общее количество тренажеров равно 12.
Ответ: 12