Номер 2, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Пусть $f(x)$ — квадратный трехчлен. Известно, что уравнение $f(x) = 2 - 2x$ имеет единственное решение и уравнение $f(x) = x - 1$ также имеет единственное решение. Докажите, что уравнение $f(x) = 0$ не имеет решений.

Пусть $f(x)$ — квадратичный трехчлен. Его общий вид: $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Анализ первого условия

Уравнение $f(x) = 2 - 2x$ имеет единственное решение. Подставим общий вид $f(x)$ в это уравнение:

$ax^2 + bx + c = 2 - 2x$

Перепишем его в стандартном виде квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$:

$ax^2 + (b + 2)x + (c - 2) = 0$

Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Обозначим этот дискриминант $\Delta_1$:

$\Delta_1 = (b + 2)^2 - 4a(c - 2) = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$b^2 + 4b + 4 - 4ac + 8a = 0 \quad (1)$

Анализ второго условия

Уравнение $f(x) = x - 1$ также имеет единственное решение. Аналогично первому пункту, подставим $f(x)$:

$ax^2 + bx + c = x - 1$

Приведем к стандартному виду:

$ax^2 + (b - 1)x + (c + 1) = 0$

Дискриминант этого уравнения, $\Delta_2$, также должен быть равен нулю:

$\Delta_2 = (b - 1)^2 - 4a(c + 1) = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$b^2 - 2b + 1 - 4ac - 4a = 0 \quad (2)$

Доказательство

Нам необходимо доказать, что уравнение $f(x) = 0$, то есть $ax^2 + bx + c = 0$, не имеет решений. Это означает, что его дискриминант, $\Delta_3 = b^2 - 4ac$, должен быть отрицательным.

Рассмотрим уравнения (1) и (2), полученные из условий задачи:

$\begin{cases} b^2 + 4b + 4 - 4ac + 8a = 0 \\ b^2 - 2b + 1 - 4ac - 4a = 0 \end{cases}$

Выразим из обоих уравнений величину $b^2 - 4ac$:

Из (1): $b^2 - 4ac = -4b - 8a - 4$

Из (2): $b^2 - 4ac = 2b + 4a - 1$

Поскольку левые части равны, мы можем приравнять правые части:

$-4b - 8a - 4 = 2b + 4a - 1$

Сгруппируем члены с $a$ и $b$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$-4 + 1 = 2b + 4b + 8a + 4a$

$-3 = 6b + 12a$

Разделим обе части уравнения на 3:

$-1 = 2b + 4a$

Теперь мы можем найти значение дискриминанта $\Delta_3 = b^2 - 4ac$. Воспользуемся выражением, полученным из уравнения (2):

$\Delta_3 = b^2 - 4ac = 2b + 4a - 1$

Мы уже нашли, что $2b + 4a = -1$. Подставим это значение:

$\Delta_3 = (-1) - 1 = -2$

Таким образом, дискриминант уравнения $f(x) = 0$ равен -2.

Поскольку $\Delta_3 = -2 < 0$, уравнение $f(x) = 0$ не имеет действительных решений.

Что и требовалось доказать.