Номер 2, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Пусть $f(x)$ — квадратный трехчлен. Известно, что уравнение $f(x) = 2 - 2x$ имеет единственное решение и уравнение $f(x) = x - 1$ также имеет единственное решение. Докажите, что уравнение $f(x) = 0$ не имеет решений.

Пусть $f(x)$ — это квадратный трехчлен, который можно представить в общем виде: $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

По условию, уравнение $f(x) = 2 - 2x$ имеет единственное решение. Подставим выражение для $f(x)$: $$ax^2 + bx + c = 2 - 2x$$ Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ax^2 + (b + 2)x + (c - 2) = 0$$ Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Обозначим этот дискриминант $D_1$: $$D_1 = (b + 2)^2 - 4a(c - 2) = 0$$ Раскроем скобки: $$b^2 + 4b + 4 - 4ac + 8a = 0 \quad (1)$$

Аналогично, по условию, уравнение $f(x) = x - 1$ также имеет единственное решение. $$ax^2 + bx + c = x - 1$$ Приведем к стандартному виду: $$ax^2 + (b - 1)x + (c + 1) = 0$$ Дискриминант этого уравнения $D_2$ также должен быть равен нулю: $$D_2 = (b - 1)^2 - 4a(c + 1) = 0$$ Раскроем скобки: $$b^2 - 2b + 1 - 4ac - 4a = 0 \quad (2)$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2): $$ \begin{cases} b^2 - 4ac + 4b + 8a + 4 = 0 \\ b^2 - 4ac - 2b - 4a + 1 = 0 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от членов $b^2$ и $4ac$: $$(b^2 - 4ac + 4b + 8a + 4) - (b^2 - 4ac - 2b - 4a + 1) = 0 - 0$$ $$4b - (-2b) + 8a - (-4a) + 4 - 1 = 0$$ $$6b + 12a + 3 = 0$$ Разделим все уравнение на 3: $$2b + 4a + 1 = 0$$ Отсюда можем выразить $2b$: $$2b = -4a - 1$$

Нам нужно доказать, что уравнение $f(x) = 0$, то есть $ax^2 + bx + c = 0$, не имеет решений. Это будет верно, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен.

Выразим $b^2 - 4ac$ из уравнения (2): $$b^2 - 4ac = 2b + 4a - 1$$ Теперь подставим в правую часть найденное ранее выражение $2b = -4a - 1$: $$b^2 - 4ac = (-4a - 1) + 4a - 1$$ $$b^2 - 4ac = -2$$

Таким образом, дискриминант $D$ уравнения $f(x) = 0$ равен -2.

Поскольку $D = -2 < 0$, квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ не имеет решений, что и требовалось доказать.