Номер 3.3, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.3. Найдите:

а) наибольшее значение выражения $-2(x-1)^2+3;$

б) наименьшее значение выражения $(x-1,5)^2-2,5.$

а) наибольшее значение выражения $-2(x - 1)^2 + 3$

Чтобы найти наибольшее значение выражения $y = -2(x - 1)^2 + 3$, проанализируем его структуру. Данное выражение является квадратичной функцией, записанной в вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где вершина параболы находится в точке $(x_0; y_0)$.

1. Слагаемое $(x - 1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть:$$(x - 1)^2 \ge 0$$Наименьшее значение, которое может принять это слагаемое, равно 0. Это происходит, когда $x - 1 = 0$, то есть при $x = 1$.

2. Далее рассмотрим член $-2(x - 1)^2$. Он получается умножением неотрицательного выражения $(x - 1)^2$ на отрицательное число $-2$. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:$$-2(x - 1)^2 \le 0$$Таким образом, этот член всегда неположителен (меньше или равен нулю). Его наибольшее значение равно 0 (достигается при $x=1$).

3. Наконец, чтобы получить значение всего выражения, к члену $-2(x - 1)^2$ прибавляется 3. Чтобы найти наибольшее значение всего выражения, нужно к наибольшему значению члена $-2(x - 1)^2$ прибавить 3:$$y_{наибольшее} = 0 + 3 = 3$$Это наибольшее значение достигается при $x = 1$.

Ответ: 3.

б) наименьшее значение выражения $(x - 1,5)^2 - 2,5$

Чтобы найти наименьшее значение выражения $y = (x - 1,5)^2 - 2,5$, применим аналогичный подход.

1. Слагаемое $(x - 1,5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно:$$(x - 1,5)^2 \ge 0$$Наименьшее значение этого слагаемого равно 0. Это происходит, когда $x - 1,5 = 0$, то есть при $x = 1,5$.

2. Чтобы получить значение всего выражения, из $(x - 1,5)^2$ вычитается 2,5. Чтобы найти наименьшее значение всего выражения, нужно из наименьшего значения слагаемого $(x - 1,5)^2$ вычесть 2,5:$$y_{наименьшее} = 0 - 2,5 = -2,5$$Это наименьшее значение достигается при $x = 1,5$.

Десятичную дробь $-2,5$ можно представить в виде неправильной дроби $-\frac{5}{2}$, целая часть которой равна $-2$.

Ответ: -2,5.