Номер 3, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ не имеет корней и $a + b + c > 0$. Найдите знак коэффициента $c$.

Для решения задачи рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$.

1. По условию, квадратный трехчлен не имеет корней. Это означает, что график функции $y = f(x)$, которым является парабола, не пересекает ось абсцисс (ось Ox). Следовательно, парабола целиком находится либо выше оси Ox (в этом случае $f(x) > 0$ для всех $x$), либо ниже оси Ox (в этом случае $f(x) < 0$ для всех $x$).

2. По второму условию, $a + b + c > 0$. Заметим, что выражение $a + b + c$ является значением функции $f(x)$ в точке $x = 1$:

$f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$

Таким образом, условие $a + b + c > 0$ равносильно условию $f(1) > 0$.

3. Совместим оба условия. Мы знаем, что функция $f(x)$ сохраняет свой знак на всей числовой прямой (либо всегда положительна, либо всегда отрицательна). Также мы знаем, что существует точка ($x = 1$), в которой значение функции положительно. Из этого следует, что функция $f(x)$ положительна для всех действительных значений $x$.

4. Теперь найдем знак коэффициента $c$. Коэффициент $c$ — это значение функции $f(x)$ в точке $x = 0$:

$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$

Поскольку мы установили, что $f(x) > 0$ для любого $x$, это верно и для $x = 0$. Следовательно, $f(0) > 0$, что означает $c > 0$.

Найдите знак коэффициента c. Ответ: Коэффициент $c$ имеет положительный знак ($c > 0$).