устные вопросы и задания в § 13, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Какая из следующих функций не является квадратичной:

а) $f(x) = (3x - 2) + (5x + 4);$

б) $g(x) = (3x + 1)(5x + 4);$

в) $h(x) = 7x^2 - 8x + 1?$

2. Даны три функции: $f(x) = 2x^2 + 4x - 6;$ $g(x) = 2(x + 1)^2 - 8$ и $h(x) = 2(x - 1)(x + 3).$ Верно ли, что $f, g, h$ — три формы записи одной и той же функции?

Квадратичная функция — это функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Чтобы определить, какая из предложенных функций не является квадратичной, необходимо привести каждую из них к стандартному виду и проверить значение коэффициента $a$.

• а) $f(x) = (3x - 2) + (5x + 4)$

  Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
  $f(x) = 3x - 2 + 5x + 4 = (3x + 5x) + (-2 + 4) = 8x + 2$.
  Полученная функция $f(x) = 8x + 2$ является линейной, так как старшая степень переменной $x$ равна 1. Коэффициент при $x^2$ равен нулю ($a=0$). Следовательно, эта функция не является квадратичной.

• б) $g(x) = (3x + 1)(5x + 4)$

  Раскроем скобки, перемножив многочлены:
  $g(x) = 3x \cdot 5x + 3x \cdot 4 + 1 \cdot 5x + 1 \cdot 4 = 15x^2 + 12x + 5x + 4 = 15x^2 + 17x + 4$.
  Эта функция является квадратичной, так как она приведена к виду $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 15 \neq 0$.

• в) $h(x) = 7x^2 - 8x + 1$

  Эта функция уже записана в стандартном виде квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 7 \neq 0$.

Ответ: Функция а) $f(x) = (3x - 2) + (5x + 4)$ не является квадратичной.

2.

Чтобы проверить, являются ли функции $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ различными формами записи одной и той же функции, необходимо привести их все к единому стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$ и сравнить полученные выражения.

• Функция $f(x)$ уже представлена в стандартном виде:
  $f(x) = 2x^2 + 4x - 6$.
• Приведем функцию $g(x) = 2(x + 1)^2 - 8$ (вершинная форма) к стандартному виду:

  $g(x) = 2(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 8 = 2(x^2 + 2x + 1) - 8$
  $g(x) = 2x^2 + 4x + 2 - 8$
  $g(x) = 2x^2 + 4x - 6$

• Приведем функцию $h(x) = 2(x - 1)(x + 3)$ (разложенная на множители форма) к стандартному виду:

  $h(x) = 2(x^2 + 3x - x - 3) = 2(x^2 + 2x - 3)$
  $h(x) = 2x^2 + 4x - 6$

Все три функции, $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$, после преобразований приводятся к одному и тому же выражению $2x^2 + 4x - 6$. Это означает, что $f, g, h$ являются тремя разными формами записи одной и той же квадратичной функции.

Ответ: Да, верно, что $f, g, h$ — три формы записи одной и той же функции.