Номер 3.11, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.11. Определите, существуют ли значения аргумента, при которых квадратичная функция:

а) $y = x^2 - 4x + 7$ принимает значение, равное 4;

б) $y = -2x^2 + 6$ принимает значение, равное 9;

в) $y = 5x^2 - x + 1$ принимает значение, равное 1.

Для того чтобы определить, существуют ли значения аргумента (x), при которых квадратичная функция принимает заданное значение, необходимо приравнять функцию к этому значению и решить полученное квадратное уравнение. Если уравнение имеет действительные корни, то такие значения аргумента существуют.

а) $y = x^2 - 4x + 7$ принимает значение, равное 4.

Приравняем функцию к заданному значению:

$x^2 - 4x + 7 = 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x + 7 - 4 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Для определения наличия корней найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$ ($4 > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, существуют значения аргумента, при которых функция принимает значение 4.

Найдем эти значения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{4+2}{2} = 3$

$x_2 = \frac{4-2}{2} = 1$

Ответ: Да, существуют, при $x=1$ и $x=3$.

б) $y = -2x^2 + 6$ принимает значение, равное 9.

Приравняем функцию к заданному значению:

$-2x^2 + 6 = 9$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-2x^2 + 6 - 9 = 0$

$-2x^2 - 3 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$2x^2 + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В данном уравнении $a=2$, $b=0$, $c=3$.

$D = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 0 - 24 = -24$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких значений аргумента, при которых функция принимает значение 9.

Ответ: Нет, не существуют.

в) $y = 5x^2 - x + 1$ принимает значение, равное 1.

Приравняем функцию к заданному значению:

$5x^2 - x + 1 = 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 - x + 1 - 1 = 0$

$5x^2 - x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся $x$ за скобки:

$x(5x - 1) = 0$

Уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = 0$

$5x - 1 = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{5}$

Так как уравнение имеет действительные корни, то существуют значения аргумента, при которых функция принимает значение 1.

Ответ: Да, существуют, при $x=0$ и $x=\frac{1}{5}$.